Существенная размерность и бирациональные инварианты алгебраических торов

• Автор: Крутиков, Юрий Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 119 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Линейные алгебраические группы

1.1. Определение линейной алгебраической группы

1.2. Диагональные группы

1.3. Характеры групповых схем

1.4. Точные последовательности алгебраических групп и их групп

характеров

1.5. Формы и одномерные когомологии

1.6. Формы групповых схем

1.7. Алгебраический тор

1.8. Группа Пикара линейной алгебраической группы
1.9. Основной бирациональный инвариант линейной алгебраи-
ческой группы
1.10. Вялые резольвенты модуля
1.11. Существенная размерность линейных алгебраических групп 31 Глава 2. Когомологические бирациональные инварианты четырехмерных алгебраических торов
2.1 Каноническая резольвента и методы её построения
2.2. Четырехмерные торы с максимальной группой разложения
2.3. Когомологический бирациональный инвариант максималь-
ного тора без аффекта в связной полупростой группе
типа Р
Глава 3. Существенная размерность алгебраических торов
3.1. Верхняя граница существенной размерности алгебраиче-
ского тора
3.2. Существенная размерность торов тина Яр/к(м/р{&т))

3.3. Аффинная реализация произвольного алгебраического тора
3.4. Существенная размерность одномерных алгебраических то-

3.5. Существенная размерность двумерных алгебраических торов
3.6. Существенная размерность трехмерных алгебраических то-

3.7. Существенная размерность четырехмерных алгебраических
торов
Список литературы
Приложение А
Приложение В
Приложение С

Введение
Алгебраический тор — это один из базовых элементов структурной теории алгебраических групп. Если основное поле является алгебраически замкнутым, то теория алгебраических торов тривиальна. Все меняется при рассмотрении алгебраических торов над незамкнутым полем. Изучение таких торов действительно многогранно, так как приводит к постановке комбинаторных, алгеброгеометрических и арифметических задач. В данной работе мы затрагиваем лишь малую часть этой области математического знания. Более конкретно, мы ведем исследования в двух направлениях: первое из них — классическая проблема бирационльной классификации алгебраических торов, второе — проблема вычисления существенной размерности линейных алгебраических групп. Интерес к проблеме рациональности алгебраических торов, определенных над незамкнутым полем, не ослабевает уже более сорока лет. Эта проблема почти всегда редуцируется к вычислению основного бирацио-нального инварианта, алгебраического тора Т. Один из важных результатов В.Е. Воскресенского состоит в том, что тривиальность этого инварианта равносильна стабильной рациональности алгебраического тора. Уже в момент появления этого результата была высказана гипотеза, что стабильно рациональный тор является рациональным над полем определения. В недавно вышедшей монографии [У09] представлено доказательство этой давно стоявшей проблемы. Заметим, что данный результат имеет весьма интересное прикладное значение в области торической криптографии: на базе рацио-

Глава 2. Когомологические бирациональные инварианты четырехмерных алгебраических
торов
2.1 Каноническая резольвен та и методы её построения
В первой главе мы напомнили определение канонической (вялой) резольвенты Воскресенского для алгебраического &-тора Т с минимальным нолем разложения Ь, П — ЄаІ(Ь/к) (см. пункт 1.10). Опишем один из методов её нахождения, пользуясь следующим соглашением: для всякого П-модуля М будем обозначать через М = Нот(М, Ж) двойственный к М П-модуль.
Пусть имеем эпиморфизм П-модулей 5 -» Т , где Б — некоторый пермутаци-

онный П-модуль. Рассмотрим гомоморфизмы Бп —> (Т )7Г для всех подгрупп я группы П. Добавляя, если необходимо, прямые пермутационные слагаемые к Б, можно добиться того, что данные отображения станут сюрьективными для любой подгруппы я. Тогда рассмотрим точную последовательность:
0 —> 7?°—>5—>Т°—>0, (2.1)
которая в свою очередь индуцирует точную последовательность когомологий
0 -ч (Я V -ч Бп -ч (Т V -ч Я1 (я, Я°) -> 0.
А это в свою очередь будет означать, что Я1 (я, N ) = 0, Уя < П. Так как Я-1 (я, Я) — Я1 (я, N ) = 0, то, обратив по двойственности точную последовательность (2.1), мы получим каноническую резольвенту.
Замечание 2.1. Описание алгебраического метода построения канонической резольвенты подразумевает полный перебор всех подгрупп группы П