Тождества векторных пространств, вложенных в линейные алгебры, и примеры конечномерных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств

• Автор: Кислицин, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Барнаул
• Количество страниц: 98 с.

Содержание
Введение

1 Тождества векторных пространств, вложенных в линейные алгебры

1.1 Основные определения и вспомогательные утверждения

1.2 Базисы тождеств некоторых ассоциативных векторных пространств

1.3 Сильно бесконечно базируемые векторные пространства. Существенно бесконечно базируемые векторные пространства
1.4 Сильно бесконечно базируемые векторные пространства над полем нулевой характеристики, являющиеся алгебрами с единицей
1.5 Некоторые условия, влекущие конечную базируемость тождеств векторных пространств

1.6 Тождества векторных пространств, вложенных в неассоциативные алгебры

2 Примеры конечномерных линейных алгебр, не имеющих конечного

базиса тождеств

2.1 Основные определения и вспомогательные утверждения
2.2 Связь тождеств векторных пространств с тождествами алгебр многообразия Полина
2.3 Пример центральной простой конечномерной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств
2.4 Пример центральной простой коммутативной конечномерной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств
2.5 Некоторые следствия
Список литературы
Работы автора по теме диссертации

Введение
Актуальность темы. Одним из способов изучения алгебраических систем является изучение их тождеств. Напомним, что тождеством универсальной алгебры сигнатуры Е называется формула вида (Узд... х„)(/ = д), где /, д - термы от Х,Х2, ■■■ ,хп- Класс ОТ алгебр называется многообразием, если существует такая совокупность С тождеств сигнатуры Е, что ОТ состоит из тех и только тех алгебр сигнатуры Е, в которых выполняются все тождества из С? [16]. Тождества алгебр изучались в 1935 году Г. Бирк-гофом [34]. В этой работе он рассматривает понятие многообразия алгебр и доказывает знаменитую теорему о том, что класс алгебр является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятия подалгебр, гомоморфных образов и прямых произведений алгебр.
Также понятие тождества рассматривалось в конкретных классах алгебр. В 1937 году Б.Х. Нейман изучал тождества групп [48]. М. Холл в 1943 году рассматривал тождества колец [39]. В его работе доказано, что если тело Т> удовлетворяет тождеству [[т, у]2, г] = 0, то И является либо полем, либо алгеброй обобщенных кватернионов над своим центром. И. Ка-планский в 1948 году показал, что примитивная ассоциативная алгебра, удовлетворяющая любому полиномиальному тождеству, изоморфна алгебре матриц над телом И, причем О конечномерно над своим центром [41].
Если рассмотреть алгебру А некоторой сигнатуры Е, то множество тождеств алгебры А, из которых следуют все тождества этой алгебры, называется базисом тождеств алгебры А. По-видимому, впервые понятие базиса тождеств алгебры появилось в 1950 году работе Ш. Амицура и Я. Левицкого при изучении тождеств минимальных степеней ассоциативных алгебр [32]. А. Тарский в 1956 году доказал, что минимальные многообразия ассоциативных колец порождаются либо простым полем либо кольцом с нулевым умножением характеристики р и нашел базисы тождеств этих многообразий [55].

Если базис тождеств алгебры А конечен, то алгебру А называют конечно базируемой (или короче, КБ-алгеброй). В противном случае говорят, что алгебра А бесконечно базируема или не конечно базируема (коротко: НКБ-алгебра).
Ш. Оутс и М. Б. Пауэлл показали, что любая конечная группа имеет конечный базис тождеств [49]. И. В. Львов [15] и Р. Крузе [42] независимо доказали конечную базируемость тождеств конечного ассоциативного кольца.
Одной из центральных задач при исследовании вопросов конечной базируемое тождеств ассоциативных линейных алгебр является проблема, сформулированная в 1950 году В. Шпехтом [53]: будет ли произвольная ассоциативная алгебра над полем нулевой характеристики иметь конечный базис тождеств? Привлечению внимания к этому вопросу способствовали работы В. Н. Латышева [12, 13], в которых проблема Шпехта положительно решалась в различных классах ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики. В 1987 году проблема Шпехта положительно решена А. Р. Кемером [9]. В случае бесконечного поля положительной характеристики существуют примеры линейных ассоциативных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств [1]. Подробный обзор вопросов, связанных с проблемой Шпехта, приведен в работе А. Я. Белова [2].
Важным направлением в изучении многообразий, порожденных конечными алгебрами, является построение конкретных конечных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств. Одной из центральных задач при изучении тождеств конечных алгебр является проблема, сформулированная в 1966 году А. Тарским [54]: будет ли множество всех конечно базируемых конечных алгебр фиксированной сигнатуры, содержащей по крайней мере одну двуместную операцию, рекурсивно (т. е. существует ли общий алгоритм, позволяющий определить, имеет или нет конечная алгебра конечный базис тождеств)? В 1984 году Р. МакКензи показал, что проблему Тарского достаточно решить в классе группоидов [44], а в 1996 году решил

тождество Ф(Х) = ф(х 1,Х2, ■ ■. ,хп) — 0 алгебры Е является следствием тождеств множества Со- Ввиду бесконечности поля Е многочлен ф(Х) можно считать однородным.
Пусть показатели, с которыми входят переменные х, х2,..., хп в ф(Х), образуют набор а = {а,а2, • • •, оеп), где оц - некоторые целые положительные числа.
Если п — 1, то ф(Х) = ф(х) = ах“1. Подставив х -4 еп из первой компоненты Е, получим, что аец = 0. Значит а = 0.
Если та = 2 и dcg3.l ф{Х) = degХ2ф(Х) = 1, то ф(Х) = ахх2 + Ъх2х. Подставляя х -4 ец, х2 —У е2 из первой компоненты Е, получим, что а = 0. Подставим х —» ец, х2 -4- ец. Получим, что 6 = 0.
Если та — 2 и deg ф(Х) = 1, deg.C2(/>(X) = а2 > 1, то по модулю тождеств множества Со имеем:
ф(Х) = ах^“2 + Ьх^2хг + сх2х1х%3~1.
Подставим XI -4 е2ь х2 -4 ец из второй компоненты Е. Получим, что а = 0. Подставляя х -4 ехг, х2 -4 ец из первой компоненты С, получим, что 6 = 0. Подставив Х -4 ец, х2 -4 ец, получим, что с = 0.
Если та = 2 и deg:rl (Х) = а > 1, degЖ2 ф(Х) = а2 > 1, то по модулю тождеств множества Со получим:
ф(Х) = ах“хх"2 + 6х"2ж?х + еххх^ж“1“1 + ^х^ж“2-1.
Переписав тождество [ж, г/] [та, и] = 0, получим: жутата = жутата + ужтата — ужтата. Подставим х —» х2, у —> х1г та -4 ж“1-1, та —» Жз2-1 и, воспользовавшись тождеством ж [у, та] та = 0, будем иметь: = ж22ж"1 -Ьх^х^
ж^^ж“1- . Тогда получим, что
ф{Х) = аж^ж“2 + бх^х“1 + еххх^х“1”1.
Подставив XI —> ец + е21, х2 -4 ец из второй компоненты Е, получим, что (а + 6 + с)ец + (а + с)е2* = 0, откуда а + с = 0, а + Ь + с = 0 и 6 = 0, а = —с. Таким образом, <^(Х) = а(х“хх22 — ж^^ж“1-1) Подставив