Границы Пуассона и Мартина для двумерных случайных блужданий

• Автор: Куркова, Ирина Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 с.

Оглавление
Введение
0.1. Случайные блуждания в 22, Z х Z+ и (2+)2
1. Граница Пуассона
1.1. Основные определения
1.2. Граница Пуассона для случайных блужданий ъ Z2, Z х Z+
и (г+)2
1.3. Обобщения для случайных блужданий в +)к х Zm и (2+)71
2. Граница Мартина
2.1. Основные определения
2.2. Результаты
2.2.1. Необходимые утверждения
2.2.2. Случайное блуждание в Т?
2.2.3. Случайное блуждание в 2 х 2+: Еж > О, Еу >
2.2.4. Случайное блуждание в 2 х 2+: Е < О, Е,, <
2.2.5. Случайное блуждание в (2+)2: Еж > О, >0
2.2.6. Случайное блуждание в (2+)2: Еж < О, Еу < 0, уход
на бесконечность по одной оси
2.2.7. Случайное блуждание в (2+)2: Ех <
на бесконечность по двум осям . ’.'. ♦СТ'- -
2.3. Доказательства
2.3.1. Общая схема доказательств
2.3.2. Случай
2.3.3. Случай Z х Z+: Е > О, Еу >
2.3.4. Случай 2+ х 2: Е < О, Е,, <
2.3.5. Случай (2+)2: Е > 0, Еа >
2.3.6. Случай (2+)2: < 0, Еу < 0, уход на бесконечность по одной оси
2.3.7. Случай (2+)2: Ег < О, Еу < 0, уход на бесконечность по двум осям
3. Скорость сходимости к границе
3.1. Бесконечночастичная модель и результат
3.2. Доказательство
Литература

Введение
Одной из важнейших задач в исследовании транзиентных цепей Маркова является нахождение границ Пуассона и Мартина. С одной стороны, ее решение позволяет описать “финальное поведение” процесса и “различать” “предельные точки” траекторий. С другой стороны, оно дает интегральное представление всех ограниченных гармонических функций в случае границы Пуассона, и, более того, всех неотрицательных гармонических функций в случае границы Мартина.
Интегральное представление послужило мотивом для создания теории границ Мартина в 1941 году. Мартин в [43] исследовал множество положительных решений уравнения Лапласа в области евклидова пространства.
Компактификация Мартина была введена Дубом [27] и Хантом [35]. Это пополнение X* пространства состояний X транзиентной цепи в метрике, зависящей от асимптотики функции Грина. Тогда граница Мартина есть дХ — X* IX. Дуб в [27] дал вероятностную интерпретацию результатов Мартина: непосредственные выводы относились к вине-ровскому процессу, но Дуб показал возможность их распространения на счетные дискретные цепи. В его работе сначала невероятностными методами вводится интегральное представление гармонических функций, а затем из него вытекает теорема о финальном поведении траекторий. Новый подход был предложен Хантом в [35]: сначала из вероятностных соображений доказывается теорема о финальном поведении, а после этого, с помощью -процесса, выводится интегральное представление. Эта теория получила дальнейшее развитие в работе Дынкина [2].
Интегральное представление гармонических функций вдоль дХ не единственно. Чтобы добиться единственности, надо исключить из дХ некоторые точки. Полученное множество называется в [2] пространством выходов, или в других работах [38, 49, 51] — минимальной границей Мартина.
Для определении границы Пуассона в настоящий момент существует много подходов, они изложены в [31, 36, 37, 50].
Перечислим работы, в которых были исследованы границы Пуассона и Мартина для случайных блужданий на графах и группах. В [28] найдена минимальная граница Мартина для случайных блужданий в Ъ: она состоит не более, чем из двух точек. Однако неминимальная граница может быть шире, как показывает пример в [19], § 7. Анализ гармонических функций для случайных блужданий размерности (I > 1 был начат в [-34] и [20]. Ней и Спицер в [44] и Спицер в [11] нашли границу Мартина для пространственно одонородных случайных блужданий в Zг,

о? > 2, если экспоненциальный момент скачка за один шаг конечен. В [44] рассмотрен случай, когда средний скачок за один шаг отличен от нуля: доказано, что граница Мартина гомеоморфна сфере. В [11] рассмотрен случай нулевого среднего скачка: граница Мартина тогда состоит из одной точки. В обоих перечисленных случаях граница Пуассона тривиальна, что доказано, например, в [17]. В работе [16] эти результаты обобщаются на случай ЫЛ Гармонические функции для блужданий на нильпотентных группах исследованы в [9]. Граница Мартина для случайных блужданий на свободных группах была определена в [3] и позже изучалась в [24].
Отметим также, что в некоторых работах решается обратная задача; нахождение цепи, для которой заданное множество является границей Мартина. Так, например, в [23] определяется цепь, для которой границей Мартина является ковер Серпинского.
В ряде работ компактификация Мартина сравнивается с другими возможными компактификациями пространства. Для случайных блужданий на деревьях вводится компактификацию концов. Пути, имеющие лишь конечное число различных вершин, объявляются эквивалентными. Классы эквивалентности называются концами. Они пополняют пространство вершин в некоторой метрике. В [18, 19, 46] доказывается совпадение компактификации Мартина с компактификацией концов при некоторых наложенных условиях. В [32] рассматриваются гиперболические графы и их возможная компактификация, называемая гиперболической. В [15] доказывается ее совпадение с компактификацией Мартина. Работа [33] посвящена возможным пополнениям симметричных пространств и их взаимосвязи. В ней, в частности, подробно изучается компактификация Мартина для случайных блужданий на симметричных пространствах.
В [47] исследуется граница Мартина декартова произведения двух марковских цепей. Декартово произведение позволяет построить простые примеры, в которых граница Мартина шире минимальной границы, как, например, в [48]
Наконец, необходимо отметить работы [26] и [36], в которых речь идет о связи границы Пуассона с энтропией. В частности, для случайного блуждания на группе с конечной энтропией и неприводимой мерой граница Пуассона тривиальна, если и только если энтропия равна нулю. Этот результат доказан в [5, 25, 36]. Другие критерии тривиальности границы Пуассона и многочисленные примеры приведены в [37].
Мы видим, что в большинстве работ речь идет об исследовании границ для однородных блужданий на группах, деревьях, симметрических пространствах. Мы рассматриваем неоднородные блуждания в кону-

см. рис. 2.1(a).
Введем производящие функции
оо СО
Ф°(ж) = 5>У>ж<- ЧуФЕУ“1 (49)
г=1 j=l
в областях {ж : |ж| < 1} и {у : |у| < 1} соответственно.
Предложение 2.1. Имеем:
ОО ' оо
ЁтГ <00, Ё<° <“
*—1 i=i
Теорема 2.10. Пусть (i,j) G Z+. Пусть также i = rcos(7(r)); j = г sin(7(r)) и 7(r) —> 7 при г —> оо; гс?е 0 < 7 < тг/2.
1. Предположим, что q{Ж3, 4У0-1/.Р01) < О, Ясли 7 G [0,7s], то уфо-i/Poi < у(т) < 1 и
lim ку(г0, jo) (50)
r->co J
= [ф(т), Po-i/(yoiy(7)))
х [а'г°(7)УЛ(7) + о(а;(7),У(7)Ко:'0 + ФМ,уМУУуУ)]
- Ф(7),У(7))
х [жг° (7)(ро-1 /(poiУ(7)))Л + 9о(ф), Po-i/(poiy(l)))K°o°
+ ФЫ > yo-i/(Poiy(7)))MO(yo-i/(my(7)))]]
X [ф(7):У0-1/(Р01У(7)))
х [1 + - я(Ф),уШ
X [1 + q0{x(7), po-i/(poiy(l)))n°o
+ Ф(7), Po-i/(yoiy(7)))7r°°(yo-i/(poiy(7)))]]
Если 7 € [7в, тт/2]; то р-ю/Poi < *(7) < 1 и lhnhj{io,jo) (51)
= [ф-юДрюФ)), У(7))
х [ж‘°(7)У°(7) + яФ(1),У(1))К°о0Я(Ф), У(7Ж0ЛФ(7))]
- ФЬ),уШ
х [(р-10/{piox(l))y°У30(7) + 9о(р-ю/(ршу(7)), уУКГ