Нелинейные случайные процессы и анализ систем взаимодействующих частиц

• Автор: Ярыкин, Павел Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 85 с.

1 Существование процесса и его основные свойства

§ 1.1 Существование

§ 1.2 Свойства решения СДУ

2 Связь между нелинейным и многочастичным процессами

§2.1 Аппроксимация многочастичного процесса нелинейным

§ 2.2 Следствие об устойчивости стационарного распределения

3 Асимптотическое поведение нелинейного процесса

§3.1 Стационарные распределения

§3.2 Сходимость процесса к стационарному распределению. Метод

Фурье

§ 3.3 Функционал свободной энергии

§3.4 Предельное поведение решения нелинейного СДУ при а ^ 1/2
§3.5 Предельное поведение решения нелинейного СДУ при больших а
А Добавления
§ А. 1 Замечания к условию
§ А.2 Доказательство леммы
§ А.3 Оценка на ±оо некоторой функции
§ А.4 Обоснование уравнения (3.38)
Литература

Настоящая работа посвящена исследованию решения нелинейного стохастического дифференциального уравнения (СДУ) типа МакКина-Власова без внешнего ноля. Нелинейные процессы такого вида получаются как предел среднего поля для однородной системы попарно взаимодействующих броуновских частиц, то есть как предел (в среднем квадратичном при ограниченном времени) динамики выделенной частицы при росте числа частиц к бесконечности.
В данной работе осуществлен многосторонний анализ данного нелинейного одномерного процесса в случае однородного по времени трансляционно-инвариантного взаимодействия, состоящего из двух компонент:
• линейного притяжения,
• ограниченного гладкого возмущения.
В работе получены следующие результаты:
1. существование и единственность сильного решения;
2. доказан предел среднего поля для класса ограниченных возмущений;
3. доказано существование стационарных решений нелинейного СДУ п получены результаты об их количестве;
4. исследована сходимость нестационарного нелинейного процесса к стационарным распределениям.

1. Математическая теория (классических) стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) началась в 40-х годах XX века с работы Ито [34], в которой было введено понятие стохастического дифференциала и его свойства. С тех пор теория классических СДУ была значительно развита, а в настоящее) время их решения изучены для широкого круга условий. Обзор современного развития теории классических СДУ имеется в работе [1].
В 50-60-е годы зародилась теория нелинейных СДУ, в которых уравнение не является линейным относительно случайного процесса, а именно
где множитель а(Лб) + ^ (г/т/) задает снос процесса, причем мера
/ф является распределением АД а(х) — внешняя составляющая сноса процесса и Ъ(х,у) — функция взаимодействия.
Заметим, что это уравнение является обобщением однородного но времени классического СДУ.
Это уравнение возникло у Каца ([35]) из уравнения на многочастичный процесс
при описании эволюции частиц разреженного газа (уравнение Больцмана). Также Кац написал уравнение (1) в качестве модели уравнения Власова для плазмы. При этом функции а(х) и Ъ(х,у) имели физический смысл градиента внешнего поля (внешнего по отношению к системе частиц) п силы взаимодействия частиц.
Однако, этот тип уравнений оказался существенно сложнее для изучения и его решение было исследовано гораздо слабее. В значительной мере, это связано с тем, что решение нелинейного СДУ не является марковским процессом. Но он близок к марковскому в том смысле, что марковской является пара (АД /ф) из процесса и его распределения.
Обратим внимание, что уравнение (2) задает многочастичный процесс со взаимодействием типа среднего поля, когда влияние каждой частицы на поведение другой мало. Процессы со взаимодействием среднего поля образуют широкий класс и представляют научный интерес. В настоящее время, они исследуются многими авторами при различных предположениях. Для примера можно указать работы [8, 36, 39, 40].