Задача о разладке для процессов Леви в обобщенной байесовской постановке

• Автор: Устинов, Филипп Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 76 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
ГЛАВА 1. Процесс 1/}1: и оптимальные моменты остановки
1.1. Постановка задачи
1.2. Определение процесса-0 и его свойства
1.2.1. Переформулировка задачи при помощи
1.2.2. Процесс плотности Ь4
1.2.3. Стохастическое дифференциальное уравнение для -0*
1.2.4. Инфинитезимальный оператор процесса ф
1.2.5. Регулярность и траектории процесса гр
1.3. Вспомогательное семейство задач
1.4. Оптимальный момент тд
1.5. Вывод
ГЛАВА 2. Асимптотика среднего время обнаружения разладки В{Т)
2.1. Связь с минимаксной задачей
2.2. Случай броуновского движения
2.3. Случай процессов Леви с скачками
2.4. Единственность решения £/м(ж)
2.5. Приближенное решение £«(х)
2.6. Случай спектрально-отрицательных процессов
2.7. Случай произвольно направленных скачков
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Общая характеристика работы
Актуальность темы
В настоящей работе рассматривается задача о разладке в обобщенной байесовской постановке для процессов Леви. Задача о разладке состоит в скорейшем обнаружении изменения вероятностных характеристик процесса (в данном случае триплета характеристик). Впервые проблема скорейшего обнаружения изменения сноса виперовского процесса была поставлена в докладе А.Н. Колмогорова и
А.Н. Ширяева на VI совещании по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 5-10 сентября 1960 г). Представленные в этом докладе новые подходы получили развитие в работах А.Н. Ширяева ([13-15]). Некоторые частные случаи пуассоновской задачи о разладке были рассмотрены в [37,30] и затем [31]. Пешкир и Ширяев в [49] представили полное решение этой задачи (в байесовской постановке). Заметим, что пуассоновская задача заметно отличается от винеровской по методам исследования.
Дальнейшая деятельность развивалась в нескольких нащлавле-ниях. Одно из них - поиск классов процессов, допускающих решение при помощи тщательного анализа возникающих уравнений. В этом направлении Гапеев в [36] нашел специальный случай, когда пуассоновская задача с экспоненциальными скачками допускает аналити-

1) Вариация ограничена и есть положительный снос.
2) Есть гауссовская компонента.
3) Вариация бесконечна, гауссовская компонента и снос равны нулю, выполнено
Из приведенных выше утверждений следует, что для случая процесса неограниченной вариации или наличия у него положительного сноса все множества [А, +оо) регулярны. Нерегулярность имеет место, если процесс Nt имеет ограниченную вариацию (в том числе нет диффузионной компоненты) и у Щ снос, равный а, направлен вниз. В таком случае, все точки выше точки — включая ее, процесс ф пересекает только скачком, поскольку движение вверх возможно только скачками. Для точек А, лежащих ниже имеет место регулярность.
Вернемся к рассмотрению задачи поиска оптимального момента в выражении
В этом выражении содержатся ограничения на момент остановки т. Чтобы решить эту задачу оптимальной остановки, воспользуемся методом множителей Лагранжа и избавимся от ограничений (на математическое ожидание момента остановки).