Хеджирование в среднеквадратическом в стохастических моделях финансовой математики

• Автор: Нечаев, Михаил Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с.

Содержание
1 Введение
2 Общие проблемы хеджирования на дискретных рынках б
2.1 Хеджирование в среднеквадратическом
2.1.1 Постановка задачи оптимального хеджирования
2.1.2 Структура оптимальной стратегии
2.1.3 Примеры и дополнения
2.2 Хеджирование при ограничениях на доступную информацию
2.2.1 Постановка задачи
2.2.2 Структура оптимальной стратегии
2.2.3 Примеры и замечания
3 Хеджирование на рынке облигаций
3.1 Хеджирование в среднеквадратическом в Модели Хо-Ли
3.1.1 Формулировка модели
3.1.2 Свойства структуры процентных ставок
3.1.3 Задача хеджирования в среднеквадратическом
3.2 Непрерывный аналог модели Хо-Ли
3.2.1 Формулировка модели
3.2.2 Свойства структуры процентных ставок
3.2.3 Задача хеджирования в среднеквадратическом
4 Хеджирование на рынке фьючерсов
4.1 Структура модели рынка фьючерсов
4.2 Свойства самофинансируемых стратегий
4.3 Хеджирование на фьючерсном рынке

1 Введение
Одним из ключевых понятий стохастической финансовой математики является понятие модели финансового рынка. В контексте данной работы, финансовым рынком называется совокупность активов, которые определяются своими ценами, эволюционирующими во времени. В случае двух активов, безрискового В и рискового 5, говорят о (В, Зфрынке (см. [7]). Рынок может содержать и бесконечное число активов. Например, рынок облигаций в большинстве случаев предполагается состоящим из бесконечного числа ценных бумаг с различными сроками погашения (см.[15], [8], [12]). Цены облигаций являются сильно зависимыми и представляют определенную структуру, которая естественным образом определяет и ставки привлечения средств, ввиду чего модели рынка облигаций часто именуются моделями структуры процентных ставок.
Участник финансового рынка, заключая контракт на некоторый период (например, на покупку или продажу актива), принимает на себя платежное обязательство, определяемое всей эволюцией цен, а иногда и другими факторами (действиями других участников рынка, решениями финансовых властей и т.п.).
Действия на рынке сводятся к формированию портфеля (стратегии), состоящего на каждый момент из двух составляющих: количества безрискового и рискового активов. Поскольку инвестор вынужден принимать решения в условиях неопределенности, его стратегия может основываться только на доступной информации, иными словами, должна быть предсказуемой. Если средства только перераспределяются в портфеле, то говорят о его самофинансируемости.
Рынок называют безарбитражным, если с помощью самофинансируемого портфеля нельзя создать положительный капитал, исходя из нулевого начального без риска разорения (получения отрицательного капитала). Если же произвольное (зависящее от всей эволюции цен) платежное обязательство на рынке может быть выражено
терминальным капиталом некоторого самофинансируемого портфеля (репликация), то такой рынок называют полным.
Проблема хеджирования платежного обязательства понимается как построение портфеля, терминальный капитал которого “доминирует” это обязательство. Следовательно, для полного рынка она может быть решена в точности построением реплицирующего портфеля (см. статью [7], в которой могут быть найдены формальные определения используемых понятий: финансовый рынок, арбитраж, полнота, портфель, самофинансируемость и т. д.). Однако, даже в условиях полного рынка встречаются ситуации, когда реплицирующий портфель (стратегию) использовать невозможно (например, ввиду недостаточного начального капитала).
В условиях неполного рынка эта проблема еще менее однозначна. Здесь необходимо выделить в первую очередь подход, основанный на построении нижних и верхних цен заданного платежного обязательства. При этом основополагающую роль играет опциональное разложение (см. [16]). Другой же подход, впервые предложенный в [13] и развиваемый в целом ряде других работ (см. [14],[19]-[22]), состоит в том, чтобы минимизировать в среднеквадратическом разность между терминальным капиталом самофинансируемой стратегии и заданным платежным обязательством. К этому направлению относится и настоящая работа.
Первая часть работы посвящена рассмотрению задач хеджирования произвольного платежного обязательства на дискретном рынке. В отличие от целого ряда работ (см. [13, 14],[19]—[22]) предлагаемые решения свободны от дополнительных технических предположений, подобных “условию N0” (см. п. 2.1.3 и [20]), относительно процесса цен. Представлены решения двух вариантов проблемы хеджирования в среднеквадратическом, которые можно было бы охарактеризовать как хеджирование при полной информации относительно цен, когда инвестор в момент п владеет точной информацией относительно значений «5о
тогда, используя неравенство Гёльдера, получим
ЕМІЙ

Е[Я2|й_,]ЕК|д»_,] ,гг.,2|„
ёЩД £ Е Iя |й-‘
Таким образом, для всякого к, 1 < к < Я, р Є Т2 (Р)
Л Е[Никдк-г
я_£и*тім6А(р|'
Следовательно,
* Еад-х] л
У 1 2 * р Г7Т21
я Ьик
& ктт-і
4) €£2(Р).

Лемма 2.10 Пусть стратегия7 определена формулой (2.2.3) миё £2(0, Р), тогда (Р-д.и.) для любого п = 1
Е[(Я-н-(7))Д5„|0„_1] =0.
Доказательство. Пусть п = Я, тогда, учитывая (2.2.4), имеем
Е [(Я — у - Ум (7)) ДЯ-і] = Е [(Л — и - Улг (7)) Я*]

1-Е ик-
к=1 £
о* й-і

нет*«;*-!
А=1 £

Яы-
Используя лемму 2.7, получим

H-vli~Y.Uk

е[я* Як-1]
е[я| Як-1]

£. Е[я|к-і
я, I им

Е [ниыЯм — ьЕ [Ял'ілг-і] +

Г/2 -ии,
е[я№ £?іу-і]
е[я£ !?ЛГ-і]
блт-

Е [ЯЯ|_
г е[я2|-!]

= 0.