О некоторых свойствах смесей обобщенных гамма-распределений и их применениях

• Автор: Крылов, Владимир Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 171 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Обобщенное гамма-распределение и оценка его параметров
1.1 Обобщенное гамма-распределение
1.2 Оценка параметров обобщенного гамма-распределения
1.3 Метод логарифмических кумулянт оценки параметров
1.3.1 Состоятельность МЛК-оценок
1.3.2 Существование и единственность МЛК-оценки для обобщенного гамма-распределения
Глава 2. Смеси обобщенных гамма-распределений и их свойства
2.1 Идентифицируемость смесей обобщенных гамма-распределений
2.1.1 Конечные смеси распределений и их идентифицируемость
2.1.2 Идентифицируемость конечных смесей ОГ и смесей из
объединения подсемейств ОГ
2.2 Устойчивость смесей обобщенных гамма-распределений относительно возмущений параметров
2.2.1 Прямая и обратная задачи устойчивости
2.2.2 Равномерная метрика
2.2.3 Метрика Леви
2.3 Задача разделения конечных смесей распределений
2.3.1 SEM—алгоритм в задаче разделения смесей

2.3.2 Разделение смесей обобщенных гамма-раснределений

Глава 3. Применение к моделированию изображений радара с синтезированной апертурой
3.1 Характеристики РСА—изображений
3.2 Задача аппроксимации и обзор существующих моделей
3.2.1 Базовая модель Рэлея
3.2.2 Эмпирические распределения
3.2.3 Физически-обоснованные распределения
3.3 Метод конечных смесей для амплитудных РС А—изображений .
3.3.1 МЛК-оценки для словаря распределений
3.3.2 Общая структура метода
3.4 Экспериментальное исследование и сравнения
Глава 4. Применение к моделированию многоканальных спутниковых изображений
4.1 Моделирование многоканальных спутниковых данных
4.1.1 Использование копул
4.1.2 Описание модели многоканальных РСА-данных
4.2 Классификация многоканальных РСА-данных
4.2.1 Модель марковского случайного поля
4.2.2 Численное решение задачи минимизации
4.3 Экспериментальное исследование и сравнения
Заключение
Приложение А
Приложение Б
Список литературы

Введение
Обобщенное гамма-распределение (ОГ) вероятностей случайной величины было впервые предложено Стейси [1] в 1962 г. в качестве модели, обобщающей одновременно хорошо известные распределения гамма и Вейбулла. ОГ представляет собой трехпараметрическое семейство распределений и включает в себя, наряду с названным двумя распределениями, ряд частных и предельных случаев, к числу которых относятся распределения логнормальное, Накагами, Рэлея и обратное гамма. Особый интерес представляет случай конечных смесей ОГ-распределений. Такой объект возникает, когда имеющиеся наблюдения не являются однородными со статистической точки зрения, а представляют собой объединение нескольких популяций с различными функциями распределения. Актуальность рассмотрения смесей ОГ-распределений состоит в том, что смеси ОГ-распределений могут рассматриваться как прямое обобщение некоторых разнотипных смесей распределений, включающих распределения гамма, Вейбулла, логнормальное, и потому возникают при решении широкого круга задач.
С теоретической точки зрения ОГ-распределение представляет собой сложный объект. Основная проблема связана со сложностью оценивания значений параметров ОГ-распределения по выборке. В работах Стейси, Хагера, Винго [2] разрабатывались оценки максимального правдоподобия, в работах Коэна, Хуанга, Сонга [3] предлагались модификации метода моментов для оценки параметров ОГ-распределения. Ни один из существующих методов не обладает универсальной применимостью и не был удовлетворительно

Рис. 2. График функции (сплошной) и асимптоты ж—0.5 (пунктирный).
Зная, что Ф(2, к) < 0, см. [22], и ЗФ2(2, к) — 2Ф(3, к)Ф(1, к) < 0, см. (31), для
любых к > 0, можно утверждать монотонное возрастание функции
Ф3(1,к)
Ф2(2,к)

положительной полуоси. Найдем также значение исследуемой функции при к —» 0, воспользовавшись разложением иолигамма функции в ряд [22]:

Ф(п, к) = (—1)п+1п! ^(я + г)-"-1, п € N.

Отсюда следует, что при к —*■ 0 имеем Ф (1, к) Следовательно,

Ф3(1, к) _
и Ф(2,ас) ~ — 2к 3.

«-оФ2(2,/с) 4'
Также при к —> оо, п G N имеем lim к”Ф(п, к) = (—1)гг“1(п — 1)! , см. [38].
к—*оо
Поэтому при к —> оо порядок возрастания исследуемой функции линейный:
Ф3(1,к)
~ к,,

Ф2(2,к)
Наконец, воспользовавшись указанными свойствами, можно построить график функции ф2(2к)> см- ^*ис- Как виДно из графика и установленных свойств, решение я уравнения (36) может быть найдено, например, простейшим методом бисекции [41].
Для нахождения полного решения системы разрешим уравнения (23) и