Асимптотика вероятностей малых уклонений гауссовских процессов в гильбертовой норме

• Автор: Пусев, Руслан Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 101 с. : ил.

Оглавление

§ 1. Введение

§ 2. Асимптотика с точностью до константы для взвешенных

процессов

§ 3. Процессы, связанные с тригонометрическими функциями

§ 4. Процессы второго порядка, связанные с функциями Бесселя

§ 5. Интегрированные процессы, связанные с функциями Бесселя

§ 6. Процессы Боголюбова

§ 7. Процессы Матерна

§ 8. Малые уклонения ряда броуновских функционалов

§ 1. Введение
Краткая история вопроса
Теория малых уклонений гауссовских процессов в различных нормах интенсивно развивается в последние годы (см., например, обзоры [69] и [71], практически полная библиография по малым уклонениям представлена в [72]). Этому развитию способствовало обнаружение связей малых уклонений с другими важными математическими задачами, такими как оценка точности дискретной аппроксимации случайных процессов, вычисление метрической энтропии функциональных множеств, закон повторного логарифма в форме Чжуна и в форме Вичуры, нахождение скорости ухода (rate of escape) бесконечномерного випе-ровского процесса. Недавно была также установлена связь малых уклонений с задачами математической статистики: функциональным анализом данных [52] и непараметрическим байесовским оцениванием [1], [89], [90].
Задача о малых уклонениях случайного процесса X в норме || • || представляет собой описание поведения при е —> 0 вероятности Р{||Х|| ^ е}. Результат, подобный
Р{||Х|| ^ е} ~ Се/Зехр(—de~a), е —* 0,
с некоторыми вещественными константами С, (3, d и а называется точной асимптотикой. Если же доказано меньше, а именно
1пР{||Х||^е}~-&-“, £ —> 0,
то такой результат называется логарифмической асимптотикой.
В известной монографии Лифшица [14, §18] отмечается: “Поведение малых уклонений, в отличие от больших, нельзя описать единообразно для всего класса гауссовских мер даже на логарифмическом уровне. Формализм оценивания значений малых уклонений, сравнимый по простоте с применением функционала действия для больших уклонений, еще не найден. Известны лишь частные

результаты для нескольких важных специальных ситуаций...”
Как правило, в работах по малым уклонениям речь шла о нижних и верхних оценках вероятностей Р{||Х|| ^ е}. а точную и даже логарифмическую асимптотику с явно выписываемыми константами удавалось найти лишь для небольшого числа случайных процессов [69], [32].
Настоящая диссертация тюсвящена изучению асимптотики малых уклонений гауссовских случайных функций в Ь2-норме. Наша основная цель — получение точной асимптотики вероятностей малых уклонений вплоть до констант для ряда конкретных гауссовских процессов. Особое внимание мы уделяем весовой норме в Ь‘2, где точная асимптотика была ранее известна лишь для немногих простейших весов.
Пусть дан гауссовский процесс Х(б), а ^ ^ Ь, с нулевым математическим
ожиданием и ковариационной функцией С(£, з), а ^ I, в ^ Ь, и неотрицательная, функция ф(ф) на [а, Ь. Положим
где к 6 N, независимые стандартные гауссовские случайные величины, а k > 0 и к Е N, являются собственными значениями и ортонормирован-
ными собственными функциями интегрального уравнения
Из разложения Карунена-Лоэва получаем следующее равенство но распределе-
Если конечен интеграл /пЬ С?(<, б)ф{б)сИ, процесс X(/,)у^фЩ допускает разложение Карунена-Лоэва (см., например, [38]):

Х(£)у/фЩ = y^£fc/Afc/fc(£)
(1.1)
t е [а, 6].
(1.2)

(1.3)
§ 5. Интегрированные процессы, связанные с функциями Бесселя
Пусть X(t), t € [0,1], — гауссовский процесс с нулевым средним. Пусть Д. j = 1,... ,гп, равны 0 или 1. Обозначим через тп раз проинтегриро-
ванный процесс
XjA-A.](t) = (_1)А+-.+А- [ .. Л X(S) dsrfti... Лт_ь
•'А» J fix
Эта общая форма многократно проинтегрированного процесса была впервые предложена в [57].
Проинтегрированные гауссовские процессы интенсивно изучаются в последние годы в связи с задачами проверки гипотез [65], непараметрического оценивания [59], изучением решений невязкого уравнения Бюргерса со случайными начальными данными [28, 77], использованием в метрологии как модели для погрешностей атомных часов с переменной точностью и синхронизацией [54]. Асимптотика малых уклонений ряда проинтегрированных процессов в квадратичной норме изучалась в работах [42], [45], [57] и [79].
Первые два примера связаны с процессом W.
Теорема 5.1. При е —> 0 имеет место соотношение
р {/ ‘2 (fif (*))'<* < е2} ~ ^ ■»р (“гу"1) ■
Доказательство. Согласно теореме 2.1 из [79] и лемме 2.1, собственные значе-