Спектральные свойства случайных операторов и интегрируемые системы в термодинамическом пределе

• Автор: Чулаевский, Виктор Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 77 c. : ил

зрения на интегрируемые системы. Вначале внимание исследователей концентрировалось на вопросах существования и явного описания семейства первых интегралов нелинейных систем. При этом обычно подразумевалось, что точные решения этих систем можно, в принципе, получить с помощью классической теоремы Лиувилля. Впоследствии стало ясно, что отличительной чертой нелинейных систем, к которым применим метод обратной задачи теории рассеяния, является возможность выписывать их явные решения и без использования переменных "действие-угол". К числу особенностей обсуждаемых систем относится также наличие у них первых интегралов аддитивного типа, подобных импульсу и энергии. Напомним основную идею построения таких интегралов. С каждой системой связывается операторное дифференциальное уравнение первого порядка, называемое уравнением Лакса:
£=и,д]
и устанавливается однозначное соответствие между решениями этого уравнения и решениями исходной системы. Таким образом,
(_. и А оказываются функциями на фазовом пространстве исследуемой системы. Предположим, что при любом натуральном
I п
К оператор и является в том или ином смысле оператором с конечным следом. Тогда функции Ь , как
нетрудно установить, являются интегралами движения исходной системы. В случае матричных операторов 1_ функции И ц имеют сумматорный вид. Подобная ситуация несколько необычна с точки зрения статистической механики. Действительно, в большинстве монографий и учебных курсов статистической физи-

для любого /-(а,£]^/£ и любой непрерывной ограниченной функции 2 : Ху -»Л . Поскольку при всяком ик1 мера

(рАС^Х- ^ есть слабый предел мер (ПлбО, лСп,))#- ^ ^А(п) ,

и>т , то в силу теоремы 1.3 и непрерывности

5 сЖ*) ~ &ПУ (*лс»п>)!}0Пу$и
у к->сл т-»оо 0 п
Л ЛА(т)
Хлм ^Л'(х' ЛЫ,)%°ПЛ1лл(+
X ^ л^4Х-Л0п))[ЗоГ|у51, ~ § °Пу§„ лл(ч

ж"» 1 ** ЛС-4 («*(.*) 3е ПуЛл«> +0
= 5 ^(Аг(Пуя),

т.к. каждая из мер Л^/(т) инвариантна относительно | •
Теорема доказана.
Итак, фазовый поток, порожденный гамильтонианом ^ Нл(р,ц.)
- Я ^^(рл) , обладает инвариантной вероятностной мерой, отличной от равновесного гиббсовского состояния, отвечающего этому гамильтониану.