Предельные теоремы для броуновского движения и некоторых процессов с ним связанных

• Автор: Денисов, Игорь Валентинович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 62 с.

Предельные теоремы для броуновского движения и некоторых процессов с ним связанных.
Оглавление.
Введение.
Глава 1. Расщепляющие моменты.
§1.1. Расщепляющие моменты и их свойства.
§1.2. Представление расщепляющего момента для нормированного случайного блуждания.
Глава 2. Функциональные предельные теоремы.
§2.1. Предельные теоремы для поведения нормированного случайного
блуждания и броуновского движения после расщепляющего момента. §2.2. Предельные теоремы для поведения нормированного случайного
блуждания и броуновского движения до расщепляющего момента. §2.3. Случайное блуждание и броуновское движение, рассматриваемые из точки максимума.
§2.4. Марковское свойство для предельных процессов.

Введение.
В последние годы в области функциональных предельных теорем в пространстве (7[0,1] — непрерывных действительных функций, определённых на отрезке [0,1] с равномерной метрикой, значительный интерес вызывают так называемые условные предельные теоремы для случайных блужданий [8], [17], [18], [19], [24], [26], марковских цепей [20], ветвящихся процессов [9], [10], [14], [15] и броуновского движения [21], [22]. Пусть X : В —► С*[0,1] — некоторое отображение измеримого пространства (П, Т) с вероятностной мерой Р на нём в пространство (С7[0,1],С), где С — д-алгебра, порожденная открытыми множествами в С[0,1] относительно равномерной метрики, Рх — вероятностная мера на (<7[0,1],С), индуцированная отображением X :
Рх(А)=Р(шгХ(со) £А), А£С.
Отображение X называют случайным элементом в ((7[0,1],С), Рх — его распределением вероятностей. Случайный элемент X называют также случайным процессом, имея в виду, что X — Х4(о>),0 1, является функцией
переменного 1. Для краткости мы будем опускать зависимость Хг(и>) от ш и употреблять запись (X (£) :
Пусть А £ С некоторое событие положительной меры Рх- Положим -ЯГ-1 (Л) = {и; : Х(а>) € Л} и введем отображение (X | Л) измеримого пространства (X-1(Л), Х_1(Л) П Т) с вероятностной мерой
Р {А 1 Х~1(А)) = р {х-цА)у АеГПХ-'Щ,
в пространство (Л, А П С). Случайный элемент (X | А) имеет распределение вероятностей
Р(ХА)(*)=§Щ> ВеАНС.
Далее для отображения (X | Л) будем также употреблять обозначение (Х(€) : 0 £ 1 | Л) и называть условным процессом. Мы будем рассматривать последовательность случайных элементов Х„ из (С'[0,1],С) и, соответственно, последовательность Рхп их распределения вероятностей.Если имеет место слабая сходимость вероятностных мер [1]
Рхп =* Рх, п -Э оо,
и X случайный элемент с распределением вероятностей Рх, то мы будем говорить, что последовательность Х„ сходится по распределению к X и записывать это в виде
-V V „
Л.п —У А, 71 —У ОО.
Функциональной условной предельной теоремой мы будем называть утверждения вида
(Х„ | А„) Д У, п — оо,

где Ая - некоторая последовательность множеств положительной меры.
После классических условных предельных теорем для ветвящихся процессов и некоторых их обобщений возрождение интереса к подобной проблематике связано с работами Белкина [17], [18]. Приведем один из результатов работы [18].
Обозначим В = (B(t) : t > 0) — процесс броуновского движения, заданный на вероятностном пространстве (fi,,F,P). Определим случайные величины Ti и т2
Ti = sup {t 1: B(t) = 0}, т2 = inf {t > 1: B{t) = 0},
и положим
B+(t)=*L±M, (1)
n+u - B(Tl + (T2 ~ Tl
° ( ) “ (T2-n)l/2 ’
при 0 t 1.
Пусть Sn = £i +£2 +-Kre, 5o = 0, ra = 1,2
строенное по последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин ,С«, Е£ 1 = 0, D£i = <т2,0 < сг2 < оо. При любом
га 1 введем кусочно-линейный процесс Хп = (Xrl(t) г 0 < t < 1), положив
«0 = 1, (2)
для точек вида t = к/п,0 < к < п, и определяя процесс с помощью линейной интерполяции при остальных значениях t.
Предположим, ЧТО введенные выше случайные величины £l, £2, ч Cm ЯВЛЯЮТСЯ целочисленными. Пусть А а С — множество всех непрерывных функций на отрезке [0,1], не принимающих значение ноль на (0,1]. Тогда [18]
(Xn(t):0tl | Л) Дв+, га-+оо. (3)
Случайный элемент В+ = (B+(t) : 0 t 1) называют броуновской извилиной или броуновским меандром (Brownian meander) со знаком, В = (Вд (t) : 0 < t 1) называют броуновской экскурсией (Brownian excursion) со знаком.
Броуновская экскурсия (без знака) Wq — (W(t) : 0 t 1), броуновская извилина (без знака) W"*" = (1Р"(1) : 0 t 1) определяются соотношениями
W+ = B+, (4)
Следующий результат в этом направлении принадлежит Иглхарту [24], который установил, что
(Xre(f) : 0 t 1 | Т+ > га) 4 W+, га оо, (6)

Аналогично случайным величинам Т,,Т,+1, определенным по процессу (Т(і) : 0 4 < оо) введем случайные величины Т Т+1 :
Тк<п> < 4 < тм(П)+1, где число сумм Тт меньших фиксированного 4 Мп) = {тахт > 1 : Т1) < 4},
соответствующие процессу (уМ (і) : 0 $5 і < оо). Очевидно, так определенные случайные величины являются последним перед 4 и первым после 4 моментами восстановления процесса Т'")(4).
Учитывая условие (В) и очевидное равенство Н±Уп(ш,) = Хі(ш,)
Из ( ) § 1.2 следует
= ~} = {тХи]("5')= р]} ’
для любого ше!1, или
Пусть в измеримом пространстве (С1, С1) задан расщепляющий момент т : С1 [0,1] и {оо}. С помощью функционала т построим семейства функционалов {т : 1 0} и { т+ : 1 > 0} действующих из пространства С* в [0,4] и {оо} и из пространства С в [0, оо], соответственно, по следующему правилу
ТГ(/) = циР{3 < * : Т(Н7Л = !}>
для любого 4 € (0, оо), / € С*,т0 = оо, очевидно, что т[~ = т,
ТЛЯ = 1пЯ5 > * : Т(Н7Л
Так как НУп = Хк, к — 0,1,2
т(Уп) — т£{к/п > 4 : т(НУп) = 1} = т£{& > п4 : тХк — 1}
г» ТЬ