Восстановление генерального распределения по распределению некоторых статистик

• Автор: Беломестный, Денис Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 111 с.

Содержание
Введение
1 Восстановление генерального распределения по распределению суммы и суммы со случайным вхождением слагаемых.

1.1 Вспомогательные утверждения

1.2 Восстановление генерального распределения по распределению суммы

1.3 Случайное вхождение слагаемых

2 Восстановление генерального распределения по распределению линейной статистики

2.1 Вспомогательные результаты

2.2 Условия однозначности восстановления

2.3 Устойчивость восстановления

3 Характеризация генерального распределения распределением статистики максимума

3.1 Вспомогательные результаты
3.2 Условия характеризации
3.3 Устойчивость характеризации
Список литературы

Введение
При решении статистических задач проверки гипотез о виде распределения часто возникает ситуация, когда мы имеем доступ не к исходной выборки Хх,..., Хт, а к некоторым образом преобразованной. Наиболее часто такими преобразованиями являются линейное преобразование ,суперпозиция элементов выборки и выделение максимального элемента.Другими словами, мы приходим к необходимости делать статистические выводы о распределении исходной выборки (генеральное распределение) на основе некоторых статистик от нее. Основными такими статистиками, соответствующими вышеуказанным преобразованиям, являются линейная статистика
где Д- положительные действительные числа.
Ситуации, приводящие к линейной статистикел возникают в физике. Например, если нам нужно проверить гипотезу о распределении интенсивности излучения некоторого числа (не очень большого) одинаковых объектов, находящихся на разных расстояниях от приемника ,то мы должны делать выводы о виде распределения на основе линейной статистики. Действи-
Ь — РХ + . . . + РтХт
и статистика максимума

тельно, наблюдаемая случайная величина будет суперпозицией одинаково распределенных случайных величин с некоторыми коэффициентами, зависящими от расстояния соответствующего объекта до приемника.
Необходимость рассмотрения статистики максимума возникает в контроле качества изделий, например, в том случае, если мы хотим оценить распределение ошибок (например, в размерах изделия),получаемых в результате последовательного числа независимых технологических операций , и наблюдению доступны только ошибки ,выходящие за поле допусков (максимальные ошибки), в силу ограниченности времени,данного на одну проверку и неточности самих приборов проверки. При этом естественным выглядит предположение о том,что распределения ошибок при каждой технологической операции имеют среднее нуль и могут отличаться дисперсиями, т.е. принадлежат одному мультипликативному типу.
Независимо от характера решаемой статистической задачи (оценивание, проверка гипотез), основополагающим является вопрос о единственности восстановления исходного распределения по распределению статистик Ь и М.
Диссертация посвящена получению новых условий (необходимых и достаточных), при которых распределение статистик Ьа М характеризует генеральное распределение. Также большое внимание уделено устойчивости этих характеризаций.
Сразу необходимо отметить связь рассматриваемых задач с арифметикой вероятностных законов - проблемой описания компонент распределений и максимум-компонент [15, 23, 28]. Если перейти на терминологию этого направления теории вероятностей, то наша задача состоит в том, чтобы найти условия, при которых разложение данного распределения на компоненты единственно. Также в отличие от общей задачи разложения , на компоненты налагаются дополнительные усло-вия(например ,принадлежность общему типу или равнораспре-

Применяя теорему Лебега об ограниченной сходимости,получим

eüxp(x)dx =

= Г е“х lim Vfl
= “5, E (x - Jyr) E <*;/>(* + “)
k=—n j=
и аналогично

eitxp(x)dx =

= і Е f1 - Jyi) Х>іЛ(‘ + “). (1-2-5)
к=—п І=О
где /,■(/) преобразования Фурье функции pj(x). Согласно известной теореме Пели-Винера, носители всех функций —
О,..., N сосредоточены на отрезке [—а, а] и поэтому для любого действительного числа to существует не более одного /го Є N (очевидно, что ко определяется из неравенства —а < to+koh < а), такого ,что
/i(/o + hh) Ф 0, j = 0,...,N.
Отсюда и из (1.2.4) выводим, что либо