Асимптотические аппроксимации для распределений случайных сумм и некоторые их применения

• Автор: Кашаев, Тимур Рустамович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 115 с.

Содержание
Введение
1 Оценки точности асимптотических аппроксимаций для обобщенных пуассоновских распределений
1.1 Оценки точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских случайных

1.2 Оценки точности приближения обобщенных пуассоновских
распределений с помощью соответствующих асимптотических разложений
2 Естественные оценки точности аппроксимации распределений случайных сумм сдвиговыми смесями устойчивых законов
2.1 Естественные оценки
2.2 Естественные оценки скорости сходимости распределений
случайных сумм к устойчивым законам
2.3 Оценки скорости сходимости распределений случайных
сумм к устойчивым законам в равномерной метрике
2.4 Оценки точности аппроксимации устойчивыми законами
распределений пуассоновских случайных сумм, в которых слагаемые имеют тяжелые хвосты
2.5 Оценки точности аппроксимации распределений случай-
ных сумм "сопровождающими" сдвиговыми смесями устойчивых законов
2.6 Оценки скорости сходимости распределений случайных
сумм к сдвиговым смесям устойчивых законов

^ 3 Асимптотическое поведение обобщенных процессов
Кокса с большими скачками
3.1 Обобщенные процессы Кокса
3.2 Лемма об асимптотическом поведении суперпозиций независимых случайных процессов
3.3 Основная теорема о сходимости обобщенных процессов Кокса с большими скачками
3.4 Оценки скорости сходимости обобщенных процессов Кокса
с большими скачками
4 Асимптотическое поведение обобщенных процессов риска
при возможности больших выплат
4.1 Обобщенные процессы риска
4.2 Основная теорема об асимптотическом поведении обобщенных процессов риска при возможности больших выплат
4.3 Обобщенные процессы риска с пакетным поступлением страховых требований
4.4 Оценки точности аппроксимации распределений обобщенных процессов риска с большими выплатами сдвиговыми смесями устойчивых законов
5 Об оптимальном планировании резерва
^ и начальном капитале страховой компании
5.1 Об оптимальном планировании резерва
5.2 Оценки для оптимального резерва
5.3 Оценки для оптимального резерва с непостоянной функцией издержек
5.4 Об оптимальном начальном капитале страховой компании.
5.5 Оценки для начального капитала страховой компании
5.6 Гарантированные оценки для оптимальной ставки страховой премии и времени достижения желаемого значения резерва
5.7 Оптимизация параметров процесса риска, связанная с неже-
^ лательностью избыточного размера стартового капитала .
Литература

Введение
Суммы случайного числа случайных величин (для краткости мы будем использовать термин "случайные суммы") играют важную роль в математическом моделировании многих процессов и явлений. Многочисленные примеры задач из самых различных областей науки и практики, в которых случайные суммы являются базовыми математическими моделями, можно найти, например, в монографиях В. М. Круглова и В. Ю. Королева (Круглов и Королев, 1990) и Б. В. Гнеденко и В. Ю. Королева (Gnedenko and Korolev, 1996). Здесь же мы ограничимся упоминанием лишь тех приложений, о которых пойдет речь в диссертации. К их числу ^ в первую очередь относится теория риска - математическая теория стра-
хования. Здесь нецентрированные случайные суммы являются моделями суммарных страховых требований (выплат) за некоторый промежуток времени; центрированные случайные суммы являются моделями остаточного резерва страховых выплат. В последнем случае центрирование может осуществляться как неслучайными величинами (что соответствует детерминированному поступлению страховых премий), так и случайными величинами (что соответствует случайным страховым премиям и, возможно, учету других случайных факторов, влияющих на величину резерва).
Асимптотическая теория случайного суммирования является активно
Ч) развивающимся разделом теории вероятностей. В подтверждение этого
в дополнение к уже упоминавшимся монографиям (Круглов и Королев, 1990) и (Gnedenko and Korolev, 1996) упомянем книги А. Гута (Gut, 1988), В. Ю. Королева (Королев, 1997), В. В. Калашникова (Kalashnikov, 1997) и недавно вышедшие монографии Д. С. Сильвестрова (Silvestrov, 2002), В. Е. Бснинга и В. Ю. Королева (Bening and Korolev, 2002)и Jl. Б. Клебанова (Klebanov, 2003), содержащие изложение как основ асимптотической теории случайного суммирования, так и описание специальных ее разделов. Не преуменьшая вклад остальных математиков, посвятивших свои работы исследованию тех или иных свойств случайных сумм, упомянем здесь лишь основополагающие работы Г. Роббинса (Robbins, 1948), f^ который в схеме "нарастающих" сумм нашел достаточные условия сходи-
мости распределений нецентрированных случайных сумм к масштабным, а неслучайно центрированных случайных сумм - к сдвиговым смесям

Пусть ЛГП, п= 1,2,...,- целочисленные неотрицательные случайные величины, независимые от последовательности Х,Х2,— Обозначим
Sn„ — Xi + ... + Хкп-
В соответствии с условием (2.1.1) мы будем рассматривать асимптотическое поведение случайных величин
Zn = SJn~Z~- (2.1.4)
Ъ{п)п}/а
Оказывается, что при таком специальном виде центрирующих и нормирующих функций условия сходимости распределений случайных ве-личин Zn приобретают довольно простую форму. А именно, в книге (Gnedenko and Korolev, 1996) в терминах процессов риска доказан результат, который в терминах введенных выше случайных сумм5дгп имеет следующий вид.

ТЕОРЕМА 2.1.1. Предположим, что Nn —> оо при п —+ оо, а слагаемые X і, X2,... удовлетворяют условию (2.1.1). Случайные величины Zn, определяемые соотношением (2.1.4), сходятся по распределению к некоторой случайной величине Z,
Zn =Ф- Z (тг —> оо) (2.1.5)
тогда и только тогда, когда существует случайная величинаУ такая, что
г = уа + у, (2.1.6)
г а(АТп - п)
6(п)п1/а
V (гг—► оо). (2.1.7)
В данной работе мы построим несколько оценок скорости сходимости в Теореме 2.1.1 и ее частных случаях, а также отыскание (в дополнение к асимптотическим аппроксимациям, устанавливаемым Теоремой 2.1.1) У ■ некоторых альтернативных аппроксимаций для одномерных распреде-
лений случайных сумм, которые можно считать в определенном смысле "сопровождающими".