Решение задачи Монжа-Канторовича для одного класса функционалов с приложением к пуассоновской аппроксимации

• Автор: Рузанкин, Павел Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 45 с.

Содержание
Глава 1. Введение и формулировка основных результатов
Глава 2. Решение задачи Монжа-Канторовича для рассматриваемого класса функционалов
2.1. Предварительные замечания и следствия из теоремы
2.2. Доказательство теоремы
2.3. Доказательство предложений
Глава 3. Построение ближайших случайных величин и оптимального множества
3.1. Построение ближайших случайных величин
3.2. Построение оптимального множества
Глава 4. Пуассоновская аппроксимация биномиального распределения
4.1. Доказательство теоремы
Список литературы

ГЛАВА
Введение и формулировка основных результатов
История задачи Монжа-Канторовича (ЗМК) берет свое начало с постановки Монжем в 1781г. задачи о наиболее рациональной перевозке земли:
Разбить два равновеликих объема па бесконечно малые части и сопоставить их между собой так, чтобы сумма произведений длин путей па объем частиц была минимальной. Какова наименьшая стоимость перевозки, при перемещении по каким путям стоимость будет наименьшей?
Современная формулировка ЗМК была предложена Л.В. Канторовичем (см.
Пусть на полном сепарабельном метрическом пространстве (I/, г) заданы две вероятностные борелевские меры, Р и <2, и М - пространство всех вероятностных борелевских мер р на 11 х и с фиксированными маргиналами /ф х и) — Р(-), р(и х ) = Требуется определить значение
где /' - заданная функция, и найти меру р 6 М (если таковая существует), на которой достигается эта нижняя грань.
Задача Монжа-Канторовича обобщалась и изучалась представителями различных математических школ с использованием разнообразных методов. В настоящее время можно говорить о ЗМК как о целом круге задач с приложениями в различных областях математики: в дифференциальной геометрии, функциональном анализе, линейном программировании, теории вероятностей, математической статистике, теории информации и кибернетики, статистической физике и др. (см. обзор и библиографию в [8]).
Отметим, что наиболее распространенными направлениями исследований ЗМК являются отыскание как можно более простых представлений для решений в виде так называемых теорем двойственности, а также получение по возможности более точных оценок для значений функционала к. Решение ЗМК в
М,[5]):

явном виде оказалось возможным получить лишь в некоторых частных случаях. Так, например, если I/ = Л - вещественная прямая с естественной метрикой И /(У, г) = д(у - 2), где д - выпуклая функция (см. [15]), то
к{Р,12)= / д{у — г)<1Н(у,2) =
/а2 ./о
где Ряб - функции распределений Р ш соответственно, .Р-1 и С-1 - кван-тильные преобразования Р иб, #(26 г) = гшп{Р(1/), С(г)}. Для некоторых специальных классов распределений в В," также получены полные решения этой задачи (см. [8]).
Мы будем рассматривать функционал к(Р, (5) в (1) для ядер вида f{y,z) — 1{г(у, г) > £), где через 1 обозначена индикаторная функция и 4 - произвольная неотрицательная постоянная. В этом случае выражение (1) есть так называемое расстояние Штрассена-Дадли:
/>(*1Р)д)=ШР(г(е,7)>«)}. (2)

где инфимум берется по всем случайным величинам £ и у, заданным на одном вероятностном пространстве, с распределениями Р и С} соответственно. Структура расстояния р по существу близка к структуре так называемых минимальных метрик (см. [3]), однако для него выполняется лишь аналог неравенства треугольника:
Ж РъРъ) < р{аЬ, Ри Р3) + р((1 а% Р3, Р2)
при всех 0 < а < 1.
Отметим, что по существу в терминах расстояния р сформулированы многие результаты, связанные с исследованием скорости сходимости в так называемом принципе инвариантности Донскера-Прохорова (см., например, [9],[10],[18],[19]), а также в различных версиях пуассоновской аппроксимации процессов частных сумм(см. [1],[20]).
Определим также функционал
/3(4, Р, <3) = вир{Р(Л) — Ц(А1) : А замкнуто в и}, (3)

Последнее выражение не меньше 1, если
(А — пр)2 , к _ „
Тл 7 &
п( 1 - р) пр
Обозначим ( = перепишем эго неравенство в виде

log(l + C) пР2
где при С = 0 полагаем logp+fl = 0- Так как < 1, то £ < |. При 0 < ( < | выполнено log(jy < § С- Значит, неравенство (73) верно, если
, 1 t
С<т
3 прг
Т.е. если /с < пр + |“2-
Лемма 3. Пусть t > пр2, р < Тогда
g{k) > f{k — t) при всех к < пр, (74)

5(A) > /(А + t) при пр < к < -пр, (75)

o(fc) > /(А +1) при е4пр2 < t < ———, пр < к <пр + -Jnt log —х. (76)
log 2 у npz
p(A) > f(k + t) nput>~—p-,np Доказательство. Вывод оценки (74) вполне аналогичен выводу (70) леммы 2,
Чтобы проверить неравенства (75) и (76) обозначим, как и в доказательстве леммы 2, ( = ~ — 1. Для того, чтобы при к > пр выполнялось д(к) > /(А + £) достаточно, чтобы выполнялось (73). При § и р < | последнее неравенство
верно при всех С, 0 < ( < §, т.е. при всех к, пр < А < |пр.
log(l + C) log -1+ log log