Некоторые задачи асимптотического анализа вероятностей высоких выбросов гауссовских процессов

• Автор: Кобельков, Сергей Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 85 с.

1 Введение
2 Задача о разорении для гауссовского стационарного процесса
2.1 Выделение промежутка основного вклада
2.2 Оценка первого факториального момента
2.3 Оценка второго факториального момента
3 Асимптотики больших экстремумов гауссовского гладкого процесса с плоским максимумом дисперсии
4 Список литературы

1 Введение
Задача асимптотического анализа вероятностей высоких выбросов гауссовских процессов является актуальной уже в течение длительного промежутка времени. Разработан ряд общих методов ее решения в дискретном и непрерывном случаях. К ним относятся метод сравнений, метод моментов [4], основанный на формуле Райса, и метод двойных сумм [3], базирующийся на лемме Пикандса и идее подсчета вероятности на измельчении параметрического множества. Последние два метода развиваются в настоящей работе и применяются для решения задачи о разорении и задачи о движущемся барьере.
Метод моментов основан на вычислении моментов числа пересечений гауссовским процессом высокого уровня. Формула для среднего числа пересечений уровня гауссовским процессом, полученная М.Кацем и С.Райсом, стала началом повой ветви теории гауссовских процессов. В ней установлены удобные формулы вычисления моментов числа пересечений, изучаются вопросы конечности этих моментов, обобщаются идеи и методы с одномерных на многомерные задачи, применяются полученные теоремы для оценки распределений различных функционалов, доказательства предельных теорем. Основы данной теории представлены в книге [14]. Гауссовские поля рассмотрены с этой точки зрения в книге [8].
Для получения оценки вероятности превышения некоторого неслучайного уровня гауссовским процессом можно воспользоваться первыми двумя моментами числа пересечений. По-видимому, Райс был первым, кто применил эту идею, которая в течение долго времени была единственным методом оценки распределения максимума случайного сигнала в статистической радио-ииженерии. Этот метод достаточно прост, и тем не менее, достаточно

точен. Состоит он в следующем: пусть имеется случайный процесс с достаточно гладкими траекториями, про который известно, что его траектории не касаются прямой у — и, тогда множество траекторий, которые превышают в какой-нибудь точке значение и, можно разбить на нспересекающиеся подмножества: траектории, графики которых пересекают прямую у = и снизу вверх ровно один раз, пересекает ровно два раза и так далее. Если добавить еще предположение, что уровень и достаточно высок в том смысле, что траекторий с двумя и более пересечениями снизу вверх много меньше, чем траекторий, пересекающих снизу вверх ровно один раз, то мы приходим к идее Райса, как можно хорошо приблизить вероятность выхода случайного процесса за уровень при помощи первых двух моментов числа пересечений. Опишем этот подход более точно.
Пусть случайный процесс Х(Ь),1 € [О, Г] почти наверное непрерывно дифференцируем, и все его одномерные плотности распределения ограничены. Тогда имеет место теорема Булипской [2], в силу которой с вероятностью единица отсутствуют касания любого неслучайного уровня. Обозначим через Л^[0,Т] число точек Ь 6 [0,Т] таких, что Х(£) = и,Х'(1) > 0. Случайные величины ЛГи[0,Т] назовем числом выходов за уровень и. При некоторых дополнительных ограничениях эта величина конечна, конечны ее математическое ожидание и дисперсия. Точные утверждения можно найти, например, в [3]. Поскольку касания уровня траекториями отсутствуют с вероятностью единица, то можно выполнить следующие преобразования:
Р(Х(0) < и, тах^[0т] Х(£) > и)
= Р(Х(0) < и,Ми[0’,Т} = 1) + Р(Х(0) < и,К[0,Т] >2)
= Р(ЛГи[0,Т] = 1) -Р(ЛГи[0,Т] = 1,Х(0) > и)+ +Р(1(0)<«ДДГ]>2)
= Р(Щ0,Т] = 1) + Р(ЛГ„[0,Т] > 2)-
-Р(^[0,Т] = 1,Х(0) >и)~ Р(ЛГи[0,Т] > 2,Х(0) >и)
= Р(Л^и[0,Т] = 1) + Р(ЛГи[0,Г] > 2) - Р(Лф,Т] > 1,Х(0) > и).

Следовательно,
Так как

2С?д(іх)(2б-1)(1 + 0^'
и2-1/в92
Таким образом,
I = ш/в{29- 1)1/2в 1д(и) ехр{—5'з(ттщ)}(1 + о(1)).
Для оценки второго факториального момента положим
1 + /(і)/и 'о
Тогда пересечению уровня и процессом У* в точке Д соответствует пересечение уровня и1-1/,(261)д(и)-1/2 процессом Zt в точке ^/{их19д{и)). Следовательно, достаточно получить оценку второго факториального момента для
Перейдем к условной плотности, как и в (20). Для выбранного 7(и) соотношение (27) остается справедливым и, таким образом, двойной интеграл в (20) оценивается так же, как и в теореме 1.
Замечание. Доказанная теорема не включает в себя важный случай /(£) = сЬ, так как в этом случае /"(Ь) = 0 не является медленно меняющейся.
процесса Zt на отрезке [с*,/?], где
а = 1 - 7(м), Д = 1 + 7(«).