Некоторые задачи теории вероятностей и математической статистики, связанные с распределением Стьюдента

• Автор: У Да
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с.

ГЛАВА 1 Вспомогательные
результаты
1.1 Распределение Стьюдента
1.2 Распределение Стьюдента как асимптотическая аппроксимация
1.2.1 Предварительные результаты
1.2.2 Распределение Стьюдента как предельное при случайном объёме выборки
1.3 Экстремальные энтропийные свойства распределения Стьк> дента
1.4 Случай малого параметра 7 = 2г
ГЛАВА 2 Оценки скорости сходимости
распределений некоторых статистик к распределению Стьюдента
2.1 Оценки скорости сходимости отрицательно биномиального распределения к гамма распределению при 0 < г <
2.2 Оценки скорости сходимости некоторых статистик, построенных по выборкам случайного объёма, к распределению Стьюдена
2.3 Применения к II - статистикам и линейным комбинациям порядковых статистик
ГЛАВА 3 Оценивание центра распределения Стьюдента с малым числом степеней

свободы
3.1 Статистическое оценивание центра распределения Стьюдента
3.2 Асимптотическая эффективность эквивариантных оценок
3.3 Оценивание центра в случае малого числа степеней свободы
3.4 М-оценки и оценки максимального правдоподобия
ГЛАВА 4 Об аппроксимации
необходимого резервного капитала страховой компании в случае большого числа различных клиентов
4.1 Описание модели страхования
4.2 Асимптотическое разложение для резервного капитала
страховой компании
4.3 Примеры
4.4 Случай случайного числа клиентов страховой компании
Библиография
Как хорошо известно, распределение Стьюдента, возникающее в задачах проверки гипотез о среднем значении нормального рапределения в случае неизвестной дисперсии, (см., например, (Леман 1964),
глава 5, § 2, 3), зависит от целочисленного параметра 7, называемого числом степеней свободы, и имеет плотность
ш(' + ?) <01>
где Г(-) - эйлерова гамма-функция (см., например, (Крамер 1948), стр. 263). Здесь параметр 7 тесно связан с объемом выборки и принимает натуральные значения. Однако можно сказать, что в таких задачах роль распределения Стьюдента в значительной мере вспомогательна, оно является в определенном смысле абстрактной идеальной теоретической моделью. (Отметим также здесь, что формально распределение Стьюдента определено при любом положительном значении параметра формы 7 и при 7 = 1 мы имеем ’’тяжёлохвостное” распределение Коши.)
Вместе с тем, в описательной статистике распределение Стьюдента практически не используется в качестве аналитической модели, ’’подгоняемой” к экспериментальным данным. Лишь относительно недавно появились работы, в которых распределение Стьюдента применяется (впрочем, без надлежащего теоретического обоснования) для описания динамики некоторых финансовых индексов, в частности приращений логарифмов биржевых цен. В первую очередь здесь следует упомянуть работы П. Прэтца (Ргае1г 1972) и Р. Блаттберга, Н. Гоундса

Оценки скорости сходимости

г(1 - р) + р .р
}[!(!_ (1 -р)ехр{

г(1 - р) + р

-»■ &•(*) = |1
(2.1.5)
при р —> 0. Но правая часть этого соотношения в точности совпадает с характеристической функцией гамма-распределения с функцией распределения
СгАх) = щ £ е-у-Чу, х > 0 (2.1.6)
Из соотношения (2.1.6) следует, что
Др,г = 8ир|р(Л1* < х) - <Зг,г(ж)
х>0 I 4 ’
—» 0, р 0.
(2.1.7)
Оценим скорость сходимости в соотношении (2.1.7). Заметим, что при г = 1 оценка скорости сходимости получена в книге ((Круглов, Королёв 1990), теорема 8.1.4) и имеет вид
вир Р (ЛРД < ж) — 1 + е~

(2.1.8)
Отметим, что оценка (2.1.8) получена прямым методом, использующим явный вид функции распрделения Р (./V*д < ж).
Здесь уместно также упомянуть результат из работы (Селиванова 1994, теорема 2.1.2): пусть г - натуральное число, тогда

1>0
Р (Л£г < х)
< г

Итак, всюду далее мы будем предполагать, что 0 < г <1. Стандартная техника, позволяющая получать оценки скорости сходимости в соотношении (2.1.7), состоит в применении неравенства Бэрри - Эссеена в виде (см. (Феллер 1984), лемма 16.3.2, стр. 603)

!*■(*) _ 0(х)| < I I !Й
|*}<г
94 А
<И + Лтг, (2.1.9)