Двумерные случайные блуждания в изменяющейся среде

• Автор: Ямбарцев, Анатолий Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с.

Оглавление
Введение
1. Инвариантные меры и транзиентность для двумерных слов
1.1. Основные определения
1.2. (+,-(-)-меры
1.3. Доказательство Теоремы
2. Инвариантные меры типа (-,+) и закон стабилизации
2.1. Формулировка основного результата
2.2. Доказательство Теоремы
2.2.1. доказательство леммы
2.2.2. доказательство леммы
2.2.3. доказательство леммы
3. Блуждания на множестве пар конечных слов
3.1. Основные определения и предварительные результаты
3.1.1. Индуцированные цепи
3.1.2. Эргодическая одномерная грань
3.1.3. Ассоциированная цепь
3.2. Формулировка основных результатов
3.3. Вспомогательный процесс
3.4. Эргодичность
3.5. Транзиентность
3.5.1. Доказательство леммы
3.6. Возвратность
3.6.1. Доказательство леммы
3.7. Неэргодичность

Введение
Настоящая работа посвящена изучению марковских цепей, которые описывают эволюцию конечных и полубесконечных слов ([2, 4, 5, 6, 7, 9]). Описываемый здесь класс марковских процессов тесно связан со случайными блужданиями на целочисленной решетке, со случайными блужданиями на дискретных группах, (наиболее известными примерами здесь являются аменабельные группы (см. [12]) и свободные некоммутативные группы [13],[19]), а также с другой, бурно развивающейся областью - случайными блужданиями в случайной среде, замороженной (см. например [17]) или динамической.
Под конечным словом мы будем понимать последовательность символов
а = XI... хп,
где принадлежат некоторому конечному алфавиту 5 = {1,2
« q(x, 0) - вероятность зачеркнуть крайний правый символ слова при условии, что он равен х;
« ([{х. у) - вероятность заменить крайний правый символ х на символ У,
• у(х, у г) - вероятность заменить крайний правый символ х на два символа ух.
Разумеется, мы предполагаем, что для всех х
ч{х,Щ + Т,ч{х,у) +ЕФ.2/Я) = 1.
У ус
Таким образом, переходные вероятности зависят только от крайнего правого символа слова, и за один шаг длина слова не может измениться более, чем на 1. Заданные выше вероятности полностью определяют динамику цепи в случае, когда слово не пустое (длина

слова строго больше 0). Мы предположим, что из пустого слова можно перейти только в слово длины не более 1, и что соответствующие вероятности положительны.
Если г = 1, то мы получаем классическое случайное блуждание на

Отметим, что случайные блуждания на свободных некоммутативных группах являются частным случаем марковской цепи на множестве конечных слов. Рассмотрим свободно порожденную группу
G с I генераторами ai oj и положим а_,- = af1. В работах [13],
[14], [16], [15] рассматривалось произведение независимых случайных величин с значениями в G. А именно, заданы вероятности щ,і = 1,—1
q(i, 0) = U—i, q{i, ij) = Uj, q{i, kj) =0 if к ф і.
Нетрудно понять, что системы массового обслуживания с дисциплиной LIFO (последний пришел - первым обслужился) также являются частным случаем нашего процесса.
Мы будем рассматривать также несчетные марковские цепи с дискретным временем, заданные на пространстве полубесконечных слов, где под полубесконечным словом понимается бесконечная последовательность вида а = ..æ_2æ_i, т; принадлежат алфавиту S. Динамика для полубесконечных слов определяется теми же самыми вероятностями q(x, 0), q(x, у), q(x, yz).
Удобно представлять полубесконечное слово в момент времени t как функцию f(i,t) на Z х Z+ со значениями в SU{0}, где значение 0 соответствует ” вакууму”. В момент времени t эта функция не равна 0 на некотором интервале (—оо,а<] и равна 0 вне этого интервала. Здесь at - координата крайнего правого символа слова. В момент времени 0 начальное слово а =
Очевидно, что в случае г = 1 мы имеем случайное блуждание на

Действительно,
0° 00 /п
Р„{Вт} = 1 - Рр{ и {а(2)И < 0}} > 1- Е РР{а(2)(і) < 0}
і=т і=т
В силу (52), существует константа Сі > 0 такая, что
Ё РЛ«(2)(4 < 0} < с1е_й.

что и доказывает нам (53). Из (53) следует, что существует є > О
рдуг>о,а<2)(г) >о}>е>о,
для любой начальной среды р Є В2 (как уже отмечалось, эта вероятность не зависит от начальной координаты а).
Действительно, за N шагов мы можем надстроить конечное слово длины N (например добавляя за каждый шаг по одному символу к второму слову), при этом координата конца второго слова в момент N будет равна
а№(ЛГ) = о(2>(0) + Я, вероятность этого события отделена от нуля числом є' > 0 :
После чего с положительной вероятностью, отделенной от нуля (см. (51)), координата а®(£) конца второго слова не опуститься ниже чем на IV— 1, поэтому вероятность (50) положительна и отделена от нуля некоторым числом е > 0. Предложение доказано. □
Пусть в начальный момент зафиксирована среда р = (рр). Определим случайную величину
:= тіп{і > 0 : [Эи т» = і П [??(2)(і) Є ВД-
Пусть - множество всех траекторий процесса С<*,. Определим со-
бытие
Ах := {ш Є Пр : Ш > $ а(2) > а(2)(44)},