Предельные теоремы для одного класса поллинговых моделей

• Автор: Сергеев, Артём Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 88 с. : ил.

1 Сети без мест для ожидания приборов
1.1 Описание модели
1.2 Предельные теоремы для фиксированного узла большой сети
1.3 Предельная динамическая система в случае пуассоновского
входящего потока
1.4 Эргодичность сети
1.4.1 Теорема Боровкова
1.4.2 Случай конечного числа мест для требований в узлах
1.4.3 Случай бесконечного числа мест для требований в узлах
1.5 Сходимость предельных вероятностных мер
1.6 Сеть с детерминированным временем обслуживания
2 Сети с местами для ожидания приборов
2.1 Сеть с распределением времени обслуживания
специального вида
2.1.1 Построение марковского процесса
2.1.2 Генератор марковского процесса
2.1.3 Сходимость полугрупп
2.1.4 Стационарный режим

2.2 Сеть с решётчатым распределением времени обслуживания
2.2.1 Сходимость к детерминированному процессу
2.2.2 Стационарный режим
2.3 Общая модель — постановка задачи
2.4 Асимптотическая независимость узлов
2.5 Предельные теоремы для фиксированного узла большой сети
Заключение
Литература

Предлагаемые в данной работе модели могут быть отнесены к классу поллинговых. Поллинговая модель является системой массового обслуживания, состоящей из некоторого количества станций обслуживания (узлов) и некоторого количества приборов, осуществляющих обслуживание поступающих в узлы требований. Приборы могут передвигаться между узлами, выбирая узел назначения в соответствии с некой стохастической матрицей маршрутизации (ру). Случайные времена перемещения приборов образуют матрицу движения (ву), также индексируемую номерами узла отправления и узла назначения. Основное отличие поллинговых моделей от сетей Джексона в том, что по сети перемещаются не требования, а приборы. Изначально исследовались поллинговые модели с одним прибором, который совершает обход узлов по некоторому правилу. Первые результаты в этом направлении принадлежат Боровкову и Шассбергеру [1]. Также можно выделить работы Делкуаня, Файоля [2, 3], Фосса [4, 5]. Однако изучаемые в данной работе модели имеют некоторое отличие, состоящее в том, что приборы либо не задерживаются в узлах, либо задерживаются, стоя в очереди, а не обслуживая требования. Собственно, само обслуживание состоит в перемещении требований из одного узла в другой.
Другая уместная аналогия — транспортные сети. Эти модели также предполагают наличие определённого количества узлов и обслуживающих заявки приборов, закономерности передвижения которых описываются
2.1.1. Построение марковского процесса
Поскольку случайная величина, имеющая гамма-распределение с параметрами п; и рг, распределена так же, как сумма п, независимых экспоненциально распределённых с параметром щ случайных величин, мы можем интерпретировать время передвижения приборов так: прибор (или требование) выбирает с вероятностью оц г-ый способ движения, предполагающий щ отрезков пути, времена преодоления каждого из которых независимы друг от друга и распределены по показательному закону с параметром Ц{. В связи с такой интерпретацией все движущиеся приборы можно разбить на непересекающиеся классы. А именно, будем говорить, что прибор имеет тип (г, у), 1 < * < т, 1 < < гг,-, если он выбрал г-ый способ движения и в данный момент находится на З-ом из щ отрезков пути. Положим Як (0 = если В к-ом узле в момент £ имеется I требований, (£) = — если там находится I приборов, и (£) = 0, если узел свободен. Назовём значение случайного процесса q^ (Ь) состоянием к-го узла в момент 1 Кроме того, пусть — количество приборов (г,у) тина в момент времени £. Рассмотрим однородную во времени цепь Маркова
= (Як (*)» к = 1, А; qfj (г), г = 1~т, 3 = 1~щ)
с пространством состояний В дальнейшем в целях упрощения обозначений указывать верхний индекс N мы не будем.
Пусть состояние цепи Маркова q £ фиксировано. Обозначим
£*;(д), к = —К Ь, долю узлов в сети, находящихся в состоянии к. Пусть ь
ик{я) — X! £1 (д). Очевидно, что