Предельные теоремы и большие уклонения для приращений случайных блужданий

• Автор: Козлов, Андрей Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 с.

1 Асимптотика вероятностей в гауссовском блуждании

1.1 Асимптотика больших уклонений статистики типа Эрдеша-Реньи для гауссовского случайного блуждания

1.1.1 Введение

1.1.2 Оценка одинарной суммы

1.1.3 Оценивание Р(Ао)

1.1.4 Оценка двойной суммы

1.1.5 Завершение доказательства Теоремы 1

1.1.6 Доказательство Теоремы 1

1.2 Асимптотика больших уклонений статистики типа Шеппа

для гауссовского случайного блуждания

1.2.1 Введение, основные результаты

1.2.2 Схема доказательства Теоремы 1
1.2.3 Оценивание Р(А^)
1.2.4 Оценивание Р(Ау^),j >2
1.2.5 Оценивание Р(А^Ац^)
1.2.6 Завершение доказательства Теоремы 1
1.2.7 Доказательство Теоремы 1
2 Асимптотика для статистики Эрдеша-Реньи
2.1 Введение. Основные результаты

Объектом изучения настоящей диссертации является случайное блуждание

где независимые одинаково распределенные (н.о.р.) случайные величины (сл.в.), Е£ = 0. Относительно функции распределения ( ф.р.) Р(х) = Р(& < х) делается одно из двух предположений: ф — стандартные гауссовские, £г- — удовлетворяют правостороннему условию Крамера:

Д(/г) := I ен*с1Г(х)< оо, 0 < к < Ь < оо. (2)
—ОО
Выделение частного случая гауссовского распределения обусловлено рядом причин — содержательных и методологических. Во-первых, более простая техника доказательств позволяет лучше освоить методологию общего (кра-меровского) случая. Во-вторых, исследование статистики Шеппа (см. ниже (7)) для крамеровского блуждания было бы достаточно проблематично без предварительного рассмотрения частного случая гауссовского блуждания, так как априори не было уверенности, что метод двойных сумм сработает в этом технически более сложном случае.
Положим
Як,1 = 5^+1 — Бк, к, 1 = 1,2, (3)
При фиксированном I в гауссовском случае сл. в. к = 1,2 образуют стационарный гауссовский процесс с дискретным временем. Относительно него в диссертации ставится и решается задача нахождения асимптотики вероятностей больших уклонений
Р( тах т]к,ь > дЬ), Ь —► оо, (4)

ГЛАВА 2. Асимптотика для статистики Эрдеша-Реньи
и конечность интеграла (2.20) установлена. Отметим, кстати, что ф ЩНв) > Еехр= ЩИв)1-1. (2.23)
Мы покажем, что для любого фиксированного I
Р(А0) ~ Р(5Ь > вЬ)Щ1; НеЩНв)-1*1 (2.24)
при Ь со.
Представим интеграл (2.19) в виде суммы интегралов 2ч,І2, и Х3, соответственно, по областям (—со, —X1/3), [—X1/3, Ь1/3], (Ь1/3, оо). При у > Ь1/3 воспользуемся неравенством (2.12), полагая в нем п — Ь — I + 1, /г = И#:
Р(5'ь-г+і >вЬ-у)< ехр{-Л(б)Т + Ьву} (2.25)
( где множитель П(Нд)~1+1 < 1 в правой части (2.25) отброшен ). Подставляя оценку (2.25) в интеграл Хз, получаем

Х3 < ехр{-Л(ВД [ е^сЮїІу). (2.26)
Ы/з
Интеграл в правой части (2.26) оценим таким же способом, как (2.21),(2.22):
ОО ОО
/ е^сіс^у) = -е.н°У{1 - С,(у))|“з + ы / (1 - С((у))е^ф;
£1/3 £1/3

< ехр{—(Н — Ид)!,1/3} + Не / (1у .
Ы/3
Таким образом, для некоторых констант А^д, 5д >
Х3 < Ац ехр{-А(в)Ь - 6вЬ1'3}. (2.27)
Используя неравенство (2.25) при у < —X1/3, находим
Т < Р(5ь-г+і >0Ь + іМ3) < ехр{-А(в)Ь - ЬдЬ1'3}. (2.28)
Как видно из оценок (2.27), (2.28), интегралы Т, Х3 не участвуют в асим-
^ птотике (2.24). Наконец, полагая
(1-1)0-у Х-/ +