О предельном поведении неустойчивых решений стохастических диффузионных уравнений

• Автор: Петров, Иван Борисович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 85 c. : ил

ГЛАВА I. ПРЕДЕЛ ШОЕ ПОВЕДЕНИЕ МОДУЛЯ ЧАСТИ КОМПОНЕНТ

СИСТЕМЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФУЗИОННЫХ УРАВНЕНИИ ... II § I. Неограниченность и устойчивость модуля решения
системы СДУ

§ 2. Теоремы о точном порядке роста

§ 3. Закон повторного логарифма

§ Т. О усиленном законе больших чисел

ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА РЕШЕНИИ

СИСТЕМЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФУЗИОННЫХ УРАВНЕНИИ ... 49 § I. Поведение модуля решений системы СДУ со случайными коэффициентами сноса. Сходимость к бесселевскому

диффузионному процессу

§ 2. Поведение аргумента решений системы СДУ

ЛИТЕРАТУРА

Асимптотические задачи всегда занимали важное место в вероятностных исследованиях. Так, значительную часть теории вероятностей составляют теоремы типа законов больших чисел и центральной предельной теоремы. В последнее время основные интересы переместились на изучение случайных процессов. В стохастических дифференциальных уравнениях - одном из наиболее важных разделов теории случайных процессов - изучаются вопросы существования сильных и слабых решений в конечномерном евклидовом пространстве [13], [ 3], [ А-], [б2] , [б9], в гильбертовом и банаховом пространствах [31], [1], [55], [5б], а также на многообразиях [58] , [бз], [б5]. Рассмотрение этих же вопросов с несколько других позиций - с мартингальной точки зрения - проведено в работах [б4^, [б8]. Все увеличивающимися запросами многих разделов теоретической физики, задачами автоматического управления, радиотехники и механики много работ посвящено изучению стохастических дифференциальных уравнений в частных производных [32], [АЗ], [аа],[5], [57]., [74], [бб] и другие. Однако асимптотические задачи продолжают играть ведущую роль*. В стохастических дифференциальных уравнениях они возникают в связи с изучением ограниченности или неограниченности решений

61], устойчивости [1б], [ 7], [ э], [54] , [зб] , [37 71] и эргодичности '• [52] , [14], [б7] , [73], [75] ,
. И. N.
п] решений ,
В СВЯЗИ С изучением предельного при 7-^00 поведения решений стохастических дифференциальных уравнений и другие [б1].
Систематическим изучением предельного поведения решения Ш) одномерного стохастического дифференциального уравнения в середине 60-х годов занялся Г.Л.Кулинич. Он доказал, что при /-><*> решение ш уравнения
с1Щ = а{Щ)сИ ч (Л/игф
неограниченно по вероятности и в пределе распределения случайно
ных величин у’Г' и ^Г~ С0Бпадаю,г» если ^ (Л(ЭС)с1х

М. Далее эта задача обобщалась в различных направлениях: СС(х) - функция колебательного характера [19], [20] ; —
при х | [гг] ; находились условия, когда решение £(/)
неоднородного уравнения при /-*<*> ведет себя как решение
однородного [21] и другие.
Этапным в развитии предельного поведения решения одномерного стохастического дифференциального уравнения был выход монографии И.И.Гихмана и А.В.Скорохода [п].
Однако переход к многомерному случаю был связан с определенными трудностями. Впервые их удалось преодолеть А.Фридману в работе [59]. Затем в 1975 году вышла работа [22], где исследовалось предельное при /ч-оо поведение, неустойчивых компонент (/) решения £(/)= (/]> уравнения
=а(1Ш)сК +1 % (/, Ш))с1цИ) (/)

Рассмотрим также проекцию решения Щ) системы (I) на
единичную сферу Ыи- 7 г и выясним достаточные условия

сходимости при fо* распределения случайного вектора
(Л/ (/), Щ к равномерному распределению на ^цилиндре"
и окружности!
В этой главе встречается понятие о слабой сходимости процессов. Она понимается в следующем смысле:
Определение. Семейство случайных процессов слабо сходится при со к случайному процессу £(/),/? О, если 1/ Т>0 меры [oj] соответствующие процессам
на отрезке [О,Г] слабо сходятся к мере / [9Т.1 соответствующей процессу на отрезке [0 7j
Поскольку мы часто будем пользоваться теоремой о компактности семейства процессов А.В.Скорохода [45] [^б] то сформулируем её в следующей лемме.
Лемма I. Пусть на некотором вероятностном пространстве (j?, определены d - мерные случайные процессы
(t?0, П-1,2,3,..) . Предположим, что для всяких Jf>0, £>0
,t г,»j is,««.tj.» в)
kt<«
Тогда можно подобрать подпоследовательность , веро-
. Г~ rsj Г*
ятностное пространство [Я, J J и случайные процессы