Предельные теоремы для лесов Гальтона - Ватсона

• Автор: Чеплюкова, Ирина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Петрозаводск
• Количество страниц: 112 с.

Содержание
Введение
1. Леса Гальтона-Ватсона
1.1. Определение просто генерируемых лесов
1.2. Связь между просто генерируемыми семействами деревьев
и ветвящимися процессами Гальтона —Ватсона
1.3. Описание класса рассматриваемых лесов
1.4. Вспомогательные утверждения
2. Возникновение гигантского дерева
2.1. Постановка задачи и сводка результатов
2.2. Асимптотика распределения vr
2.3. Асимптотика распределения vr$ при Bn/N2 —>
2.4. Асимптотическое распределение гу{ при n/N2 ->
2.5. Доказательство основных результатов
3. Предельные распределение числа вершин в слоях
3.1. Постановка задачи и сводка результатов
3.2. Асимптотика распределения Цлт() при условии > 0 в критическом случае
3.3. Слабая сходимость к нормальному закону совместного распределения в докритическом случае

3.4. Некоторые оценки для характеристической функции <М01,е2)
3.5. Локальная сходимость совместного распределения (цдг(), идг()) к нормальному закону в докритическом случае
3.6. Асимптотика поведения при условии = N + п
3.7. Доказательство основных результатов
Литература

Введение
Вероятностные методы широко применяются для решения комбинаторных задач (см., например, [21, 24, 47, 69]). При задании вероятностной меры на множестве изучаемых комбинаторных объектов различные числовые характеристики таких объектов можно рассматривать как случайные величины и использовать для их исследования методы теории вероятностей. В этом случае вероятностные формулировки комбинаторных задач дают возможность использовать хорошо развитый теоретиковероятностный аналитический аппарат, что позволяет во многих случаях существенно упростить получение результатов о комбинаторных объектах или даже находить решения, которые не удается получить с помощью других методов. Вероятностный подход обеспечивает удобную форму изложения и помогает применять хорошо развитые методы асимптотического анализа. Одним из важнейших направлений исследований является изучение предельных свойств комбинаторных объектов, проявляющихся при неограниченном возрастании числа элементов, образующих такие объекты. Во многих случаях распределение характеристик комбинаторных объектов удается представить в виде условных распределений сумм независимых случайных величин. Это дает возможность использовать для их изучения предельные теоремы для сумм независимых случайных величин.
Впервые вероятностный анализ дискретных объектов осуществлен
В.Л. Гончаровым в статьях [8, 9]. С тех пор по данной тематике появилось

Используя лемму 2.4.1 из [42], нетрудно получить, что
х(ЕР{ = г + kd + 1}ехр{ш(г + kd + 1)/(oVjV)} . (2)
Из равенства
£ eudt = Г1 (е“ - 1) следует, что eix - 1| < |ж|, поэтому

£р{>=г + kd+ 1}ехр{ш(г + kd + 1)/(crViV)} = Pr + Q(u), (3)

-1 °°
|Q(m)| [г*|(cr-/2V) (r + kd + 1)Р{г/ = r + kd + 1}. (4)
*;=l
В [42] показано, что

(aVN) (r + kd+ 1)P{ = r + kd+ 1} = »(Л/-“1). (5)

Тогда из (2) — (5) следует утверждение леммы 1.
Лемма 1 утверждает, что распределение случайной величины гу>( слабо сходится к нормальному закону с параметрами (N + n, ал/N). Докажем локальное сближение этих распределений. Как и ранее, обозначим j наименьшее целое положительное число такое, что pj > 0, а I наименьшее натуральное, не кратное j такое, что j +1 определяет шаг d, p,+i > 0; если такого I не существует, положим I = 0.
ЛЕММА 2. Пусть вътолнены условия леммы 1 и, кроме того, пусть
пХ1 -» оо. Тогда для любого фиксированного t — 0,1
неотрицательных h, кратных d, равномерно относительно (h—n)/{a/N) в любом фиксированном конечном интервале