Закон больших чисел для отрицательно ассоциированных случайных величин

• Автор: Герасимов, Михаил Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 124 с.

М.Ю. Герасимов
Содержание
Обозначения
Введение
1 Отрицательно ассоциированные случайные величины .
2 Построение отрицательно ассоциированных случайных величин
3 Неравенства для сумм отрицательно ассоциированных случайных величин
4 Закон больших чисел
5 Усиленный закон больших чисел
6 О связи между полной сходимостью и центральной предельной теоремой для сумм отрицательно ассоциированных случайных величин
Заключение
Литература

М.Ю. Герасимов
Обозначения
(П,Г, Р) вероятностное пространство;
Р{Л} вероятность события А
1а индикаторная функция события А;
Ас дополнение событию А, т. е. А° — С1 А;
ЕХ математическое ожидание случайной величины X;
ОХ дисперсия случайной величины X;
Ф(ж) стандартная нормальная функция распределения;
ст(ХиХ2) ковариация случайных величин Х и
N множество натуральных чисел;
К множество действительных чисел;
и наибольшее целое число, не превосходящее число а

М.Ю. Герасимов
Введение
Актуальность темы. В диссертации исследуются условия применимости закона больших чисел в слабой и усиленной формах к отрицательно ассоциированным случайным величинам. Понятие отрицательной ассоциированности представляет собой одну из разновидностей зависимости случайных величин, наследующих некоторые черты понятия независимости случайных величин. Оно является частным случаем общего понятия ассоциированности случайных величин. С основными свойствами ассоциированных случайных величин можно познакомиться по монографии A.B. Бу-линского и А.П. Шашкина [1]. Там же приведены основные вероятностные закономерности для ассоциированных случайных величин.
Понятие ассоциированных случайных величин появилось в связи с тем, что в ряде задач теоретического и прикладного характера случайные величины обладают определенными специфическими свойствами. Понятие ассоциированности случайных величин играет объединяющую роль в том смысле, что известные трудно доказуемые утверждения могут быть доказаны универсальным методом меньшими усилиями.
Понятия положительной и отрицательной ассоциированности введены в статьях [2], [3], [4]. Число публикаций об ассоциированных случайных величинах огромно. Например, в упомянутой монографии A.B. Булинского и
А.П. Шашкина перечислено свыше четырех сотен публикаций. Пристальное внимание специалистов многих стран к ассоциированным случайным величинам делает актуальными систематические исследования на эту тему. Мы сосредоточим наше внимание на отрицательно ассоциированных случайных величинах.
Такие случайные величины, как было сказано выше, наследуют ряд
М.Ю. Герасимов
02, Ьи Ь2. Математическое ожидание слева в (2.5) можно записать в следующем виде
Е(/(*!, Ух), 0(Х2,У2))
= ^ Р{Х, = оь Х2 - о2, У! = Ьь У2 = 62}/(ах, 6хЖо2,62),
где суммирование производится по ах £ Ах, а2 6 Ч2, &х € В, Ь2 € Т?2- В силу независимости множеств .Т7 и Л’", выполняется равенство
Р{Ах = ох, Х2 = 02, Ух = Ьх, У = Ь2}
- Р{Хх = ох, Х2 = о2}Р{Ух = Ьг, У2 = Ь2}.
Заметим, что
Е(/(ах,У1Жа2,У2))= ]Г Р{Ух = Ьи У2 = Ь2}/(а1,Ь1)д(а2, Ь2).
ЬгеВи
С учетом этих замечаний мы получим:
Е(/(Хх,УхЖХ2,У2))
= Р{Хх = ох, Х2 = о2}Е(/(ох, Ух)р(о2, У2))
ГЛ; (2-6)
< ^ Р{Х1 = а1,Х2 = а2}Е/(а1,У1)Ед(а2,У2).
С1‘2^А
Последнее неравенство выполняется в силу отрицательной ассоциированности случайных величин из множества X". Далее заметим, что
]Г Р{Хг = ох, Х2 = о2}Е/(ох,Ух)Ер(о2,У2)
016^1,
С12&А
= Е Е Р^ = У2 = ^}Е(/(Хх, Ь1)д(Х2, Ь2)) (2.7)
ЬеВг Ь2€В
Р^ = Ьь У2 = Ь2}Е/(Хх, Ьг)Ед(Х2, Ь2).
Ъ^В 62€^