Сложность аппроксимации гауссовских случайных полей большой параметрической размерности

• Автор: Хартов, Алексей Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 137 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Основы теории многопараметрических задач аппроксимации
1.1. Теория информационной сложности
1.1.1. Основные понятия и мотивация
1.1.2. Типы информации
1.1.3. Сложность в среднем и по вероятности
1.1.4. Линейные задачи
1.1.5. Стохастическая интерпретация линейных задач
1.2. Многопараметрические задачи аппроксимации
1.2.1. Линейные задачи
1.2.2. Линейные тензорные задачи
1.2.3. Случайные поля тензорного типа
1.2.4. Примеры тензорных случайных полей
2. Линейные задачи
2.1. Сложность в среднем
2.1.1. Аппроксимационный порог и общие оценки сложности
2.1.2. Ограниченность по параметрической размерности
2.1.3. Скалярные спектральные меры
2.1.4. Логарифмические асимптотики
2.2. Сложность по вероятности
2.2.1. Вспомогательные утверждения
2.2.2. Логарифмические асимптотики
3. Линейные тензорные задачи в постановке в среднем
3.1. Ограниченность сложности по параметрической размерности
3.2. Скалярные спектральные меры
3.3. Вспомогательные факты
3.3.1. Правильно меняющиеся функции
3.3.2. Классические предельные теоремы для сумм независимых случайных величин

3.4. Логарифмические асимптотики сложности в однородных задачах
3.5. Точные асимптотические представления сложности в однородных задачах
3.5.1. Неэкспоненциальный случай
3.5.2. Экспоненциальный случай
3.6. Логарифмические асимптотики сложности в неоднородных задачах
3.6.1. Общий критерий
3.6.2. Критерий с сильным доминированием
4. Линейные тензорные задачи в постановке по вероятности
4.1. Логарифмические асимптотики сложности в однородных задачах
4.2. Точные асимптотические представления сложности в однородных задачах
4.3. Логарифмические асимптотики сложности в неоднородных задачах
5. Приложения к тензорным случайным полям
5.1. Однородные случайные поля с регулярным спектром
5.2. Броуновский лист и многопараметрический броуновский мост
5.3. Многопараметрический эйлеровский интегрированный процесс
Заключение
Литература

Введение
В предлагаемой работе мы изучаем аппроксимационные свойства гауссовских случайных полей, зависящих от большого числа параметров.
Рассмотрим случайное поле X(t), t € Т, чьи траектории можно рассматривать как элементы (Q, || • ||q) - некоторого нормированного пространства функций, определенных на Т. Теоретический и практический интерес (в частности для компьютерного моделирования) представляет аппроксимация поля X полями конечного ранга:

X{t) = J2^rn(l), t€T, (1)

где £то - случайные величины, ф,п(•) - детерминированные функции, принадлежащие пространству Q. Обозначим Лп класс полей вида (1).
Возникает естественный вопрос: каким должно быть п, чтобы ошибка аппроксимации имела заданную малость? Здесь возможны две постановки - в среднем и по вероятности. Введем минимальную среднеквадратическую ошибку аппроксимации X полями ранга п
/ _ ч 1/
еп(Х) := jnf (еЦХ-ХЦ2,) .
хеПп v '
Сложностью аппроксимации в среднем называется величина
nav®(e) := min {п е N : еп(Х)2 ^ е2Е ||Х||^} . (2)
Подчеркнем, что здесь речь идет об относительной точности, учитывающей «размер» случайного поля X.
Сложностью аппроксимагщи по вероятности называется величина
п?1оЪ(е,6) := min|гг 6 N : jnf р(||Х - X\q > е2Е||Х||^ < й|. (3)
Здесь е (Е (0,1) называется порогом ошибки, а 5 £ (0,1) - уровнем значимости. Характеристики navg(e) и ггргоЪ(е, 5) являются главными объектами изучения в теории информационной сложности (Information-Based Complexity), оформившейся с выходом монографий [83]—[85].
Задачу исследования величин navg(e) и пргоЬ(е, 5) мы будем решать в духе молодого направления теории информационной сложности —теории лтогопараметрических задач, основные положения и результаты которой сформулированы в недавно изданном фундаментальном трехтомнике Э. Новака и X. Вожняковского «Tractability of Multivariate Problems»

Заметим, что для аппроксимациоииого порога А“8(е) при всех е £ (0,1) и й € N справедливы формулы:
е) — тах{ж £ к: Е Хй>т ^ е2лЛ (2-4)
теЯ: д,т<х
= тах{.х еК: Е А^,,, > (1 - е2)Лй}. (2.5)
т€ГС: А
В дальнейшем также будут полезны следующие эквивалентные (2.4) и (2.5) представления: jln^V^I = m>n{?/ £ ® : Е 1 (|In Е| > у) ^ е2| (2.6)
)^l-£2). (2.7)
|у £ К : Е ^ (1,7П ^ ( I а<* v i ^d.rn I In —- A<*
mGN
(у £ К : :Е rneN ^d,m | I A d v N ^d,rn 1 In—— A d
Важно отметить, что га^(£) в общем случае отличается от значения считающей функции собственных чисел Л^(ж) := #{т £ : А^т ^ а:}, х £ (0, оо), в точке А))1'8^). Это может про-
исходить в точности тогда, когда А^8(е) имеет кратность большую единиц!,I. Возникающее различие описывается дефектом аппроксимационного порога А^в(е):

’rf(£) := ( Е Xd-m “ “ £2)Лй)/ЛГК(£). (2-8)
mCN,*:
определенным для любых <1 € N и е 6 (0,1). В силу формулы (2.5) всегда имеем ДДе) ^ 0. Связь дефекта с п^%(е) и Л/ДА^8(е)) описывается следующим тождеством. Символом |Д мы будем обозначать наибольшее целое, не превосходящее х.
Утверждение 2.1.1. Для любых й £ N и е € (0,1) верно равенство
п7Че)=АГА АГ(£))-|ад]-
Доказательство утверждения 2.1.1. При каждом д £ N и е £ (0,1) в силу определений и А^8(£:) можно записать цепочку неравенств
"ГИ-1 "Г(£)
Е А*"«< (1-£2)л^ Е ^с1,т ^ Е ^с1,т■
т=1 т=
mGNd:
Используя определения для Мл и формулы (2.5) для А^^е), выразим разность Д<г(е) := Мл (А^'’®(е)) — «.^(е) с помощью формулы:
д<<(£) = ( Е V»1 - Е V) /-^гв(£)-
тёЯ,,: т=
Х<,,т>Л;''е(£)