Исследование вероятностных методов решения интегральных и дифференциальных уравнений

• Автор: Голяндина, Нина Эдуардовна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 133 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Аппроксимация полугрупп, порожденных уравнениями баланса в пространстве мер
1 Дифференциальные уравнения в пространстве мер
1.1 Производные. Общие определения и обозначения
1.2 Дифференциальные уравнения в мерах. Условия и свойства
1.3 Полугруппы, порожденные дифференциальными уравнениями
2 Аппроксимация решения дифференциального уравнения в мерах
2.1 Общие условия
2.2 Аппроксимация с помощью скачкообразных семейств
2.2.1 Условия сходимости
2.2.2 Предварительные результаты об ошибках аппроксимации
3 Уравнения и процессы вЯиих продолжения
3.1 Продолжение дифференциальных уравнений
3.2 Продолжение марковских скачкообразных семейств
3.3 Перенос аппроксимационных свойств
4 Эмпирические скачкообразные семейства
4.1 Эмпирические процессы и процессы в Пп
4.2 Аппроксимация с помощью (п, /с)-частичных семейств
Глава 2. Статистическое оценивание функционалов от решений уравнений баланса
1 Свойства оценок
1.1 Состоятельность
1.2 Вклад начального распределения
1.3 Смещение и среднеквадратическое отклонение
2 Уравнения больцмановского типа
2.1 Свойства уравнения
2.2 Алгоритмы
2.3 Сравнение алгоритмов
2.3.1 Сравнение дисперсий
2.3.2 Сравнение трудоемкостей
2.4 Случайное число сталкивающихся частиц
2.5 Случай локально-компактного О
3 Модельный пример. Асимптотика при Ь —> оо
Глава 3. Решение методом Монте-Карло краевых задач для оператора Лапласа
1 Скорость сходимости марковских цепей
1.1 Основные неравенства
1.2 Оценка скорости сходимости
2 Сферический процесс со сдвинутыми центрами
2.1 Основной вариант
2.2 Модифицированный вариант
3 Краевые задачи для оператора Лапласа
3.1 Подход к построению оценок решения
3.2 Решение краевых задач
3.2.1 Внутренние задачи
3.2.2 Внешние задачи
3.2.3 Моделирование
Литература

Введение
Метод Монте-Карло является одним из основных методов решения многих уравнений математической физики, в том числе кинетических уравнений динамики разреженных газов и краевых задач. При изучении стохастических процедур решения таких уравнений возникают теоретические вопросы, связанные с исследованием статистических свойств оценок и трудоемкости их моделирования.
Задачи метода Монте-Карло состоят, вообще говоря, в построении несмещенных или малосмещенных оценок вп величины в (как правило, некоторого функционала от решения той или иной задачи математической физики), пригодных для вычислительных целей. Этим и определяется основное отличие таких задач от задач оценивания параметров в математической статистике: если в последней основное внимание уделяется точности оценки (скажем, ее дисперсии), а ’’исходный материал” для ее построения (выборка) считается заданным, то в методе Монте-Карло большое значение имеет способ конструирования выборки и естественно возникает понятие трудоемкости алгоритма, которую можно условно описать как среднее число ’’основных” математических операций, необходимых для того, чтобы точность оценивания величины 0 была достаточно высока.
Именно эта специфика и объединяет две различные задачи, решаемые в диссертации.
Диссертационная работа посвящена применению метода Монте-Карло к решению интегро-дифференциальных уравнений. В первых двух главах рассматривается вероятностное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений баланса в пространстве мер, правая часть которых может иметь, в частности, интегральный вид. Здесь основное внимание уделяется качеству аппроксимации, то есть смещению и дисперсии оценок изучаемого функционала.
В третьей главе на основе так называемого ’’сферического процесса со сдвинутыми центрами” строятся новые оценки решения внутренней и внешней задачи Дирихле для некоторых уравнений математической физики, связанных с оператором Лапласа. В этой задаче акцент ставится на уменьшении вычислительных затрат при получении малосмещенных оценок, что достигается путем выбора соответствующей марковской цепи, быстро сходящейся к границе области.

2.2.2 Предварительные результаты об ошибках аппроксимации
Предположим, что для дифференциального уравнения (10) выполнены условия 50 — В5 раздела 1.2. Кроме того, предполагается выполнение условия С1 раздела 2.1, касающегося аппроксимационных свойств множеств Уп. В силу условий 54 и 55 Т*(С2(К)) С С2(У).
Как и раньше, рассмотрим семейства скачкообразных процессов £„(£) с инфинитезимальными операторами (13), тогда Трпфр) = Бд(п(0)- Оказывается, что при ф Е С2(К), несколько видоизменив условия, результат теоремы 2.3 о сходимости полугрупп можно уточнить.
Теорема 2.4 1. Если вглполнено условие (17) и
/Зп = вир Ап(р)Е||6|0)||2 —> 0, (19)
то на С(у) имеет место сходимость (18), причем при ф Е С2(У) равномерно по р £ Уп
Т‘рмм-1>м = !Т‘-грп(д1Гф - ем) +

+1л„(М)Е32Т> 9«, »<,”>) )аг + о(/3„). (20)
2. Бс,/ш выполнено условие (19), ш£ Ап(ц) —У ос и
п-¥ оо
8ирЕ||Л„(/1)й(’*)-еМ|| —> 0, (21)
то на С(К) имеет место сходимость (18), при этом равномерно по р Е Уп при ф Е С2 (К)
ТпРпФ{ц) - т*ф(ц)

= 1 тУтРп (д'г-ф (к Л„ (/.)£(<><">) - ем) + о