О функционалах от случайных блужданий и процессов броуновского типа

• Автор: Люлько, Ярослав Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 102 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Стохастические представления функционалов от бер-нуллиевского случайного блуждания
§ 1.1. Представление максимума на конечном отрезке
§ 1.2. Представление максимума случайного блуждания до момента
выхода на фиксированный уровень
§ 1.3. Представление максимума случайного блуждания до момента
последнего нуля на фиксированном отрезке
§ 1.4. Многократные стохастические представления
Глава 2. Распределение некоторых функционалов от случайных блужданий и процессов броуновского типа
§2.1. Распределение времени пребывания однородной марковской
цепи со счетным множеством состояний
§2.2. Распределение времени пребывания скошенного случайного
блуждания
§ 2.3. Предельный переход к локальному времени скошенного броуновского движения
§2.4. Распределение максимума скошенного броуновского движения и скошенного случайного блуждания на некоторых случайных отрезках времени
Глава 3. «Максимальные» неравенства для процессов броуновского типа
§ 3.1. Точные неравенства для максимума скошенного броуновского
движения
§ 3.2. Обоснование выбора функции цены и оптимального момента
остановки

§ 3.3. Доказательство оптимальности выбранных функции цены и
момента остановки
§ 3.4. Об одной задаче оптимальной остановки для скошенного броуновского движения со сносом
Основные обозначения
Список литературы

Введение
1. Настоящая диссертация посвящена исследованию функционалов от случайных процессов в дискретном и непрерывном времени с точки зрения нахождения их распределений, предельных свойств распределений, стохастических представлений, а также получению «максимальных» неравенств и решению связанных с ними задач оптимальной остановки.
Практически каждая задача или результат современного стохастического анализа так или иначе связаны с функционалами от случайных процессов - даже знаменитая формула Ито для дважды непрерывно дифференцируемых функций
df(t,X,) = | i(t, X,)dt +||(i, + Xt)(dXtf
оперирует с функционалом f(t, Xt) от случайного процесса При
изучении любого случайного процесса классическими задачами для функционалов от его траекторий являются нахождение распределения максимума на фиксированном и случайном отрезках времени; момента первого достижения некоторого уровня; момента первого выхода из заданного множества; момента, обратному к размаху, а также исследование локальных времен случайных процессов. Основные известные результаты о функционалах от случайных процессов изложены в монографиях Revuz и Yor [74], Karatzas и Shreve [5G], А. Н. Ширяева [8], [18], [35], [36], Rogers и Williams [75], Blumenthal и Getoor [42], Дынкина [14], Гихмана и Скорохода [9].
Зачастую для выявления специальных свойств стохастических процессов и получения новых результатов обращаются к базовым процессам и исследуют функционалы уже от этих процессов более простой структуры. Таким базовым процессом в дискретном времени является сумма независимых случайных величин - случайное блуждание S = (ДсДхь и в непрерывном времени - броуновское движение (винеровский процесс) W — (Wt)t£о-

1.4 Многократные стохастические представления
1. Нам понадобятся следующие обозначения: Вп — {г = (н,..., гп) : гк 6 {-1,1}, к = 11 — {(П,• -•,^ш) : 1 < *1 < ••• < *т <
гг, и е К}.
Определение 1.1. Пусть Л. : Е" —> Ж. Определим по индукции ее разделенную разность тг-го порядка:
£>(1)/г(ж :,..., ж„) = ^(/г(1,а:2,...,хп) -/г(-1,х2, ...,хп)),
Б{'к)Н{хъ...,хп) = ^ Л^_1^(/г(ж1,.. .,Хк-1,1,Хк+и.. -,хп)
Н{х,...,хк~1, 1, , хп)), к <п.
Например, ..., х„) = |(/г(1,1, х3,..., х„)-/г(1, -1, х3,...,х„)-
/г(—1,1,х3,... ,х„) + /г(—1, — 1,х3,... ,хп)). Также отметим, что ПЩ(х 1,... ,х„) : К"-* -+ Ж, £>(п)/г(хь... ,х„) € К.
Установим одно свойство разделенной разности, которое понадобится нам в дальнейшем.
Утверждение 1.1. Для каждого натурального п и для любой функции / : М" —> М справедливо соотношение
^ Е • *./0 = (Е [/©|{„.,..., ,

где 1 < П < • • • < £* < п, £ = (6, • • •,£„)■
Доказательство. Воспользуемся индукцией по к. При к — 1 имеем
£Е = 1 е Е /® =
геВ" 1&Вп-Лч= 1еВп:ц1=-
геВп:гп=
§ Е Р& = *1> ■ ■ • 61 • • • = *п) =
7еВп:г(1=-