Асимптотические разложения в центральной предельной теореме в многомерных пространствах

• Автор: Осмоловский, Игорь Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 78 с.

1 Многомерные аналоги многочленов Чебышева-Эрмита и их свойства
1.1 Многомерные аналоги многочленов Чебышева-Эрмита. Свойства и примеры аналогов многочленов Чебышева-Эрмита
1.2 Вспомогательные утверждения
1.3 Доказательство рекуррентной формулы для многочленов Я;(ад, .?' = 1,2,
2 Асимптотические разложения для плотностей с использованием вспомогательных зарядов
2.1 Основные обозначения и предположения
2.2 Постановка задачи
2.3 Две леммы
2Л Разложения для плотностей при конечности моментов порядков 5 и 6
3 Асимптотические разложения для плотностей в общем случае
3.1 Асимптотические разложения для плотностей в общем случае при конечности момента порядка т
3.2 Формулировка и доказательство леммы
4 Асимптотические разложения для решетчатых распределений
4.1 Асимптотические разложения в локальной ЦПТ
5 Асимптотические разложения для вероятностей
5.1 Получение разложений для вероятностей с помощью разложений для плотностей
6 Приложение 1. Текст программы для вычисления многомерных аналогов многочленов Чебышева-Эрмита. МаПбаЬ 7.0
7 Список литературы

Одним из фундаментальных результатов теории вероятностей является центральная предельная теорема (ЦПТ), которая утверждает, что при достаточно широких условиях сумма многих случайных величин имеет приблизительно нормальное распределение. В ЦПТ рассматриваются независимые и слабо зависимые случайные величины, одинаково и различно распределенные случайные величины, действительные случайные величины и случайные величины, принимающие значения в многомерных пространствах и т.д. Простейший вариант ЦПТ связан с независимыми одинаково распределенными случайными величинами (н.о.р.с.в.) с конечными дисперсиями, при этом без ограничения общности можно считать, что среднее значение этих случайных величин равно нулю, а дисперсия - единице. В этом случае ЦПТ можно сформулировать в следующем виде.
Пусть Х,Х2,... - н.о.р.с.в. с ЕХ1 = 0 и 0X1 = 1. Обозначим через Т1 общую функцию распределения (ф.р.) этих случайных величин и Рп(х) = Р(Х1+^*~Хп < я) -функцию распределения нормированной суммы первых п из этих случайных величин. ЦПТ утверждает, что
Рп(х) —у Ф(х) при гг -а оо

равномерно по —оо < х < оо, где Ф(а;) = -4= / еГи~- функция раепределе-

ния стандартного нормального закона. При выполнении некоторых дополнительных условий у ф.р. Т'Цх) существует плотность рп(х) и рп(х) —> <р(х) при гг —> оо равномерно по —оо < а; < оо, где <р(ж) = ^ - плотность стандартного нормального
закона.
Важность ЦПТ объясняется тем, что она позволяет в практических расчетах заменять (при больших п) ф.р. Рп на ф.р. Ф, работа с которой не представляет трудностей. Функцию распределения Рп{х) можно записать в виде Р*п(у/пх), где *" означает гг—кратную свертку функции распределения Р, точнее,
ОС ОО
Р'п{х) = I ... I Р{х-ух Уи-Ое^Ы • • • ^(у„_0, -оо < г < оо,
то есть Рп{х) является многократной нормированной сверткой ф.р. Р с самой собою. Хорошо известно, что свертки распределений в явном виде вычисляются лишь в исключительных случаях, и даже в этих случаях расчет многократных сверток напрямую обычно невозможен.
Например, в случае, когда Р{х) является экспоненциальным распределением с параметром единица, то есть Р(х) = 0 при х < 0 и Р(х) — 1 — е~х при х
71 — 1 г
Р'п(х) = 1 - Р {Хг + ■ ■ ■ + Хп > х) = 1 - £ е”* ■^
7-=0 Г'
при х > 0. Прямые расчеты по этой формуле при больших п невозможны хотя бы из-за того, что 70! > Ю100. Как уже отмечалось, ЦПТ позволяет заменять многократные

свертки нормальными законами, работа с которыми не вызывает трудностей. Однако, при такой замене мы всякий раз (за исключением тривиального случая, когда І7 - нормальная функция распределения) совершаем некоторую ошибку, и возникает естественный вопрос о величине этой ошибки, или, как иногда говорят, о точности аппроксимации в ЦПТ.
Одним из самых известных результатов в этом направлении является теорема Берри-Эссена, которая гарантирует, что
где с - некоторая константа. Эта оценка является неулучтаемой с точностью до значения константы с, для которой известна как верхняя оценка с < 0, 7056 ([32]), так
оценки Берри-Эссена невелика. Если мы захотим гарантировать с помощью (1) справедливость неравенства р(Р„, Ф) ^ 10-3, то в силу того, что Е|^113 ^ 1 (это следует из неравенства Ляпунова), величина п должна быть более (103с)2 > 160000. В случае, когда нормированная сумма состоит из нескольких десятков слагаемых, оценка теоремы Берри-Эссена, по существу, бессодержательна.
Малая точность аппроксимации в ЦПТ - факт, давно и хорошо известный. Он привел к развитию нескольких направлений в оценках точности аппроксимации в ЦПТ, среди которых изучение неравномерных оценок и изучение оценок, содержащих псевдомоменты. Примером неравномерной оценки является неравенство
где С - некоторые постоянные, & из - метрика на множестве функций распределения, которая называется вариацией с весом (здесь вес равен |ж|3) и определяется равенством
где верхняя грань берется по множеству таких измеримых функций го, что |го(ж)| ^ 1, —с» <г<оо, аУиЖ - произвольные функции распределения.
Значения постоянных в этих оценках оказывается существенно больше значения постоянной с в неравенстве (1).
Таким образом, оценка (2) не имеет преимуществ перед (1) при не очень больших Щ, а (3) не имеет преимущество перед (1), если расстояние цЦТ, Ф) не очень мало.
По-видимому, малая точность аппроксимации, которую гарантируют приведенные оценки, связана с тем, что они применимы для очень широкого класса распределений Р: они справедливы для любой ф.р. Р с конечным третьим моментом. Существенное продвижение в оценках точности аппроксимации в ЦПТ можно получить
р(іф, Ф) = вир Рп(х) - Ф(ж)| <
(1)
и нижняя оценка с ^ = 0,409... (Эссен, 1956 год, [6]). К сожалению, точность
(2)
а пример оценки, содержащей псевдомоменты, дает неравенство
р(Рп,Ф) ^ С^Р’Ф^ при п
у/її
(3)

(У,ИЦ = J Щ3|й(У — 1Е)(а;)| = вир J х3ю(х)с1(У — ИЦ(а;)
—ОО

Теорема 2.6 Пусть распределение Р таково, что /Зд < ос и /34 < 9, для характеристической функции f{t) распределения Р выполнено условие
JI тг

dt <
для некоторого и>0, и для некоторой пары [р,Т), где функция е-^2/2 ^ fi(t) ^ 1 « число Т > 0, выполняется неравенство |/(i)| §; p(t) при всех |7|
Тогда при всех х € Ed для всех п ^ тах(3, и) таких, что
_ Щ , |04|(d-l) , md(d + 2)
Р~ 6 + 3 п + 72 п '
для плотности рп (х) справедливо равенство
р„(х) = <р(х) + J H^0){x)(u,u,u)P{du)+

+ 2Un 1 / н4а) (x)(u’u’u’u)p(du) - ШоХ) > +

(2П
Ed Ed
4>(х)

J J Hfx){u,u,u,v,v,v)Pidu)Pidv)+
Ed Ed
J H^x){u,u,u,u,u)P{du) - J Hf] (x)(u,u,u)P(du)+
Ed Ed
J J H^x){u,u,u,v,v,v,v)Pidu)P{dv) - J H^x){u,u,u)Pidu)+
Ed Ed Ed
^ ^ J J J Hg°x){u,u,u,v,v,v,w,w,w)P{du)P{dv)P{dw) + R,

(3!)4n3/2
Ed Ed Ed
IR1 ,1 (M Ев . IШ
11 "3! 5! n2 24 3! J n2 2 3! J 4! n2 +
1 Л«4|Ч . ||вв||Д>,в-1 . 1(вЛ2Вв,п
-p) V 4! J п2 + " 1 "■
2(1. - р) 4! ) п2 6! п2 2 3!) п?
1145)1|Д7.и-1 N N А. , . 13» I |g4| В?,п
7! пъ!2 4! 5! п5/2 2 3! 5! п5/2 3! 4! п5/2
1 (Щу glO lNlgslgs 1^31 1^51 Пв.га N jgsj -Вэ.п
2 V 5! у тг3 6 3! 5! п3 3! 5! п3 4! 5! п7/2 2^5!/ п4
7 л"/2
«"-•'(Г) J №4t+^^Pri-1(T)L{T)
t>r