Эффективная аппроксимация нормированных сумм случайных слагаемых

• Автор: Тюрин, Илья Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 109 с.

Оглавление
Введение
1 Равномерные законы больших чисел для последовательностей зависимых случайных элементов
1.1 Техника реконструкции
1.1.1 Используемые коэффициенты зависимости
1.1.2 Случай строго стационарных последовательностей
1.1.3 Дезинтеграция в отсутствие строгой стационарности
1.2 Равномерные законы больших чисел
1.2.1 Условия регулярности
1.2.2 Классы функций с интегрируемой оболочкой
1.2.3 Равномерно ограниченные классы функций
2 Исследование преобразования нулевого смещения
2.1 Техника редукции
2.1.1 Экстремальные значения квази-выиуклых функционалов
2.2 Нулевое смещение в одномерном случае
2.2.1 Используемые вероятностные метрики
2.2.2 Оценки близости вероятностного распределения и его преобразования нулевого смещения

2.3 Преобразование нулевого смещения распределения случайного
вектора
3 Оценки скорости сходимости в теореме Ляпунова
3.1 Расстояние в терминах идеальных метрик
3.1.1 Оценки для сумм случайных величин с конечными третьими абсолютными моментами
3.1.2 Случай конечных абсолютных моментов дробного порядка у исследуемых случайных слагаемых
3.2 Точность приближения в равномерной метрике
3.2.1 Оценки близости характеристических функций
3.2.2 Абсолютные постоянные в теореме Берри-Эссеена
3.3 Многомерная центральная предельная теорема
Список литературы

Список основных обозначений
К - множество действительных чисел;
№+ - множество неотрицательных действительных чисел;
С - множество комплексных чисел;
N - множество натуральных чисел;
Ж - множество целых чисел;
Ж+ - множество целых неотрицательных чисел;
:= - «положим по определению»;

—> - сходимость по распределению;
Ьа¥(Х) (или Рх) - распределение случайного элемента Х
Р(5) - вероятность события В;
ЕХ - математическое ожидание случайной величины Х
Уаг(Х) - дисперсия случайной величины Х н.о.р. - независимые и одинаково распределенные; п.н. почти наверное;
1{В}. 1 в - индикатор множества В;
- ст-алгебра борелевских подмножеств 5; ст{Хt € Т} - наименьшая <т-алгебра, порожденная I £ Т; если а £ 1, то а+ = тах{а, 0}, а~ = тах{—а,0};
{Ап б.ч.} - событие, состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат бесконечно многим из Ап, п £ М;
А - дополнение к множеству А.

делению, правая часть (1.1.18) не превосходит
2 Y1 Р(хп) $<2 Е е2~п~г

По теореме Прохорова семейство (fik)k 1 слабо относительно компактно. Найдется последовательность (АДгщ такая, что сходится к некоторой вероятностной мере при I —У оо. Следовательно, существуют случайные последовательности X — (Хп)п1, Y = (Yn)n 1 такие, что
(X®, У W) (X, У), к -+ оо.
При этом, очевидно, X совпадает по распределению с (Xn)raj>i, и выполнено а). Чтобы проверить б), рассмотрим неотрицательные случайные величины

d у := у d(x:<*>,*5 1.

Заметим, что сходятся по распределению к II при /с —1 оо. Так как множество (0, +оо] является открытым, согласно теореме Александрова имеем
Р(Ац %j = 1 m) = Р(Н е (0, +оо])
откуда следует б). □
ТЕОРЕМА 1.1.5. 5 условиях теоремы 1.1.4 положим У := 1 (У, ф У), г £ N. Тогда

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если ]Г) /г к, то произошло одно из событий

(АД Уя j = 1