Мартингальные методы в теории считающих процессов

• Автор: Кабанов, Юрий Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1982
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 297 c. : ил

Глава I. Считающие процессы и компенсаторы '

§ 0. Сведения из общей теории процессов

§ I. Основные определения и свойства

§ 2. Пространство траекторий считающих

процессов

§ 3. Задание распределений считающих процессов

при помощи компенсаторов

Глава 2. Абсолютная непрерывность распределений считающих процессов

§ I. Локальное разложение Лебега вероятностных

§ 2. О множествах сходимости семимартингалов

§ 3. Компенсаторы и локально абсолютно непрерывная
замена меры
§ 4. Критерий равномерной интегрируемости и сингулярности распределений считающих процессов
§ 5. Примеры применения критерия абсолютной непрерывности распределений считающих процессов
Глава 3. Предельные теоремы для считающих процессов
§ I. Сходимость конечномерных распределений
§ 2. Скорость сходимости к считающим процессам с независимыми приращениями
§ 3. Слабая сходимость распределений в пространстве
Скорохода
§ 4. Сильная сходимость распределений считающих процессов

§ 5. Примеры
Глава 4. Некоторые задачи управления, связанные
со считающими процессами
§ I. Теорема существования в задаче управления локальной
плотностью
§ 2. Пропускная способность канала пуассоновского
типа
§ 3. Об уравнении Веллмана для управляемых дифференциальных уравнений, возмущаемых процессом пуассоновского типа с управляемой интенсивностью ЦРЛ
§ 4. Принцип максимума Понтрягина для линейных дифференциальных уравнений, возмущаемых процессом пуассоновского типа
Глава 5.- Абсолютная непрерывность и сингулярность локально
абсолютно непрерывных вероятностных распределений..246. § I. "Предсказуемый? критерий абсолютной непрерывности вероятностных мер
§ 2. Достаточное условие равномерной интегрируемости
одного класса неотрицательных мартингалов
§ 3. Мульти^г.вариантные точечные процессы, последовательности случайных величин
§ 4. Процессы с независимыми приращениями
§ 5. Семимартингалы
Литература

Диссертация посвящена исследованию считающих процессов на полупрямой и проблеме абсолютной непрерывности вероятностных мер с точки зрения общей теории процессов.
В настоящее время один из наиболее плодотворных подходов в теории случайных процессов состоит в одновременном рассмотрении как самого процесса, так и связанной с ним "истории" - некоторого возрастающего семейства (Г - алгебр. Указанный подход был предложен еще в 30-е годы А.Н.Колмогоровым. Большой вклад в его развитие внесли Дж.Дуб, П.Леви, К.Ито, А.В.Скороход, И.И.Гихман, Ш.Ва-танабе, Ю.А.Розанов, А.Н.Ширяев, Б.И.Григелионис и др.
На ранних этапах развитие теории шло, главным образом, путем исследования классов процессов, у которых зависимость "будущего" от "прошлого" конкретизирована (процессы с независимыми приращениями, марковские процессы и т.п.). Одновременно развивались теории мартингалов и стохастического интегрирования, в которых вид этой зависимости не конкретизировался. К началу 70-х годов была в основном разработана теория процессов диффузионного типа, имеющих непрерывные траектории, в которой были решены такие важные проблемы, как проблема абсолютной непрерывности распределений, проблема фильтрации и др.
В 70-е годы внимание исследователей вновь привлекли разрывные процессы (Гихман, Скороход, Струк, Григелионис, Бремо и др.). Полученные в этот период результаты имели прямые аналоги среди результатов теории процессов диффузионного типа (или процессов йто), а среди условий обычно присутствовало требование квазинепре-рывности процессов слева. Это внешне безобидное предположение нарушало логическую стройность и целостность теории. В связи с этим возникла идея изучить с точки зрения мартингального подхода в мак-

ных процессов.
Предложение 1.6. Пусть (к п - процесс пуассоновского типа, А - его компенсатор. Тогда
= ] +>' 0, (1'1б) [од 1 где > £ ф ( ЦТ).

Доказательство. Положим для £ £
Ид (£) “ Е з МЛ (?) = Е ] £^с/і .
ГО^СХі [
Тем самым на (йхК+,Ф) ОПредеЛвНЫ ДВв Меры, оИ)

и Нд Сс/сО0 о/-Е) , которые, очевидно, СҐ - конечны. В силу
предположения и теоремы Фубини М д С М д
Положим А^ОІМд/е/Мд и рассмотрим процесс
А,-1 а. о/,.
[0,4]
Поскольку для любой функции $ € 9і +
д = Є ЬА = ИАСі) = МДЯ)
= Е 5 ^ с/і,
Со}олС
С'-
то А ~ компенсатор Д/ и, следовательно, неот>?личим от А . Следующее хорошо известное утверждение, несмотря на свою простоту, является весьма полезным в приложениях.