Формы Дирихле и емкости, связанные с бесконечномерными вероятностными распределениями

• Автор: Пугачев, Олег Всеволодович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 202 с.

Оглавление

Общая характеристика работы

Краткое содержание диссертации

Глава 1. Формы Дирихле

1.1. Замыкаемость квадратичных форм

1.2. Продолжения соболевских функций

1.3. Решение проблемы Рёкнера

1.4. Сходимость Моско и ее приложения

1.5. Сходимость Моско диффузионных форм Дирихле

Глава 2. Соболевские емкости

2.1. Классы Соболева в локально выпуклых пространствах
2.2. Плотность соболевских емкостей в локально выпуклых пространствах
2.3. Пространство конфигураций
2.4. Мера Пуассона
2.5. Соболевские классы в пространстве Пуассона
2.6. Плотность соболевских емкостей в пространстве Пуассона
2.7. Свойства подпространства конфигураций без кратных точек 123 Глава 3. Преобразования мер
3.1. Локальные Соболевские функции
3.2. Одномерный образ бесконечномерного распределения
3.3. Поверхностные меры в локально выпуклых пространствах
3.4. Поверхностные меры в пространстве конфигураций
3.5. Формула Остроградского-Гаусса в пространстве конфигураций
3.6. Квазиинвариантность меры Пуассона
Список литературы
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Основная тематика этой работы связана с аналитическими проблемами теории бесконечномерных вероятностных распределений, привлекающими аппарат теории емкостей и форм Дирихле для изучения распределений случайных процессов, функционалов от них, а также сходимости случайных процессов. Это направление, активно развивающееся в последние два десятилетия, в идейном отношении восходит к классическим работам Ю.В. Прохорова1 и Г. Шоке2, отличительной особенностью которых явился синтез аналитического и топологического подходов. В последующие годы развитие аналитического направления привело к созданию двух важных областей в теории бесконечномерных вероятностных распределений — теории дифференцируемых мер
С.В. Фомина3 и исчисления Маллявэна4. Первой из них посвящены фундаментальные труды5,6,7,8 ’ 9’10. Второй также посвящен целый ряд монографий, из которых особо отметим книги11,12,13,10. Связи между теорией
^Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примеп., 1956, т. 1, в. 2, 177-238.
"Choquet G. Theory of capacities. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1955, v. 5, 131-295.
'Иомгн С.В. Дифференцируемые меры в линейных пространствах. Тезисы кратких научи, сооб-щ. Международного конгресса математиков: Секция 5, 78-79. Изд-во МГУ, М., 1966.
Alalliavin P. Stochastic calculus ofvaiiation and hypoelliptic operators. Proc. Intern. Symp. on Stoch. Diff. Eq. (Res. Inst. Math. Sci., Kyoto Univ., Kyoto, 1976), 195-263. Wiley, New York - Chichester -Brisbane, 1978.
^Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин C.B. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. Тр. Моск. мат. об-ва, 1971, т. 24, 133-174.
^Скороход А.В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. Наука, М., 1975.
^Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Наука, М., 1983.
^Богачев В.И., Смолянов О.Г. Аналитические свойства бесконечномерных распределений. Успехи мат. наук, 1990, т. 45, N 3, 3-83.
°Uglanov A.V. Integration on infinite-dimensional surfaces and its applications. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 2000.
10Вогачев В.И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. РХД, Москва-Ижевск, 2008.
^Bell D. The Malliavin calculus. Wiley and Sons, N.-Y., 1987.
^Malliavin P. Stochastic analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1997.
■^Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin, 2006.

дифференцируемых мер и исчислением Маллявэна подробно исследованы в работах14,8,10 и книгах15,10. В данной диссертации существенно используются идеи и методы теории дифференцируемых мер и исчисления Маллявэна. Более того, часть основных результатов диссертации, относящихся к построению поверхностных мер для бесконечномерных вероятностных распределений, дает решения задач на стыке этих двух областей.
Первая общая конструкция поверхностной меры на бесконечномерном пространстве была предложена A.B. Скороходом6. A.B. Угланов существенно модифицировал эту конструкцию и построил общую теорию поверхностного интегрирования на бесконечномерных пространствах (см.16,9), а также получил важные приложения этой теории к решению бесконечномерных дифференциальных уравнений с частными производными. Однако метод A.B. Угланова требует топологических ограничений на рассматриваемые поверхности (типа непрерывности некоторых производных). Для гауссовских мер эти ограничения удалось снять в работе1' с помощью исчисления Маллявэна. В.И. Богачев18 предложил схему построения поверхностных мер для негауссовских гладких мер с использованием исчисления Маллявэна. Этот подход был развит автором, что позволило снять топологические ограничения и для общих дифференцируемых мер и построить поверхностные меры на множествах уровня соболевских функций. От этих функций не требуется даже непрерывность (таковы типичные функции, появляющиеся в теории случайных процессов и задаваемые с помощью стохастических интегралов). Построение и исследование поверхностных мер
^Bogachev V.l. Differential properties of measures on infinite dimensional spaces and the Malliavin calculus. Acta Univ. Carolinae, Math, et Phys., 1989, v. 30, N 2, 9-30.
^Богачев В.И. Гауссовские меры. Наука, М., 1997.
10Угланов A.B. Поверхностные интегралы в банаховом пространстве. Мат. сб., 1979, т. 110, N 2, 189-217.
^Airault H., Malliavin P. Intégration géométrique sur l’espaces de Wiener. Bull. Sei. Math. (2), 1988, v. 112, N 1, 3-52.
^Bogachev V.l. Smooth measures, the Malliavin calculus and approximation in infinite dimensional spaces. Acta Univ. Carolinae, Matli. ct Phys., 1990, v. 31, N 2, 9-23.

Глава
ФОРМЫ ДИРИХЛЕ
Пусть X - локально выпуклое пространство (конечномерное или бесконечномерное). Пусть П = С/[О, сю) —» X) - пространство всех непрерывных траекторий (отображений из [0, оо) в X), и Хи Ь > 0 - координатные функции в П, т.е. = ш(£). Рассмотрим на X марковский диффузи-
онный процесс
где {Дф>о - возрастающее семейство сг-алгебр в П, такое, что X, измеримы относительно Тй вероятностная мера Рх на П ость распределение траекторий, стартующих из точки х.
Предположим, что процесс (1.0.1) имеет на X вероятностную или неотрицательную ст-конечную стационарную меру ц, т.е., если взять на П меру
то при всех Ь > 0 случайные, величины Хг будут иметь распределения, совпадающие с //. Данный диффузионный процесс порождает полугруппу
на Ь2(ц). Генератором полугруппы называется (неограниченный) неположительный линейный оператор Ь с областью определения П>(П), такой, что
С генератором полугруппы ассоциирована неотрицательно определенная квадратичная форма (£,£>(£)), П>(£) = Р(Ь), заданная соотношением
(П, {Хг}£>0, {Д}£>о, {Рх}хех},
(1.0.1)
{Ті}і>о : / >-> Ш(х) = I /да йРх
Тг^еіЬ для /Є БЩ.
£и,д) = -(1,Ьд)г-м У/,5 Є П{£).