Случайные блуждания и ветвящиеся процессы в случайной среде

• Автор: Афанасьев, Валерий Иванович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 234 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Условные предельные теоремы для случайного блуждания
§1. Условные предельные теоремы для случайного блуждания с нулевым сносом
§2. Условные предельные теоремы для случайного блуждания с отрицательным сносом
§3. Обобщенные условные принципы инвариантности для случайного
блуждания и остановленного случайного блуждания
Глава 2. Предельные теоремы для ветвящихся процессов в случайной среде
§1. Определение и классификация ветвящихся процессов в случайной
среде
§2. Сопровождающие случайные последовательности и их свойства в
критическом случае
§3. Предельные теоремы для критического ветвящегося процесса в-
случайной среде
§4. Предельные теоремы для логарифма критического ветвящегося
процесса в случайной среде
§5. Сопровождающие случайные последовательности и их свойства в
умеренно докритическом случае
§6. Предельные теоремы для умеренно докритического ветвящегося
процесса в случайной среде
§7. Предельные теоремы для промежуточно докритического ветвящегося процесса в случайной среде
§8. Предельная теорема для строго докритического ветвящегося процесса в случайной среде
Глава 3. Предельные теоремы, связанные с моментами достижения фиксированного уровня и максимума
§1. Асимптотика распределения максимума критического ветвящегося
процесса в случайной среде
§2. Предельные теоремы, связанные с моментом достижения уровня . 152 §3. Асимптотика распределения максимума докритичсского ветвящегося процесса в случайной среде
§4. Предельные теоремы, связанные с моментом достижения максимума
§5. Предельные теоремы для локального времени остановленного случайного блуждания
§6. Асимптотика распределения среднего значения функции от остановленного случайного блуждания
Литература

Введение
В классической теории ветвящихся процессов, изложенной в известных монографиях Харриса Т.Е. [22], Севастьянова Б.А. [18], Атрея К. и Нея П. [29], рассматривается, как правило, ситуация, когда законы размножения частиц не меняются от поколения к поколению. Попытки изучить более сложную ситуацию, когда эти законы подвержены изменению с течением времени, привели к формированию на рубеже шестидесятых и семидесятых годов двадцатого столетия двух новых направлений в теории ветвящихся процессов.
С одной стороны, возникла теория ветвящихся процессов в изменяющейся среде (по другой терминологии, неоднородных ветвящихся процессов). Под средой при этом понимается совокупность заданных для каждого поколения законов размножения частиц. В работах этого направления (см., например, [25, 26, 44, 45, 55, 60]) обычно находятся условия, налагаемые на среду, при выполнении которых ветвящийся процесс в изменяющейся среде обладает тем или иным свойством. Например, вырождается с вероятностью 1, или является суперкритическим, или имеет одну скорость роста и т.п. Следует отметить, что полная классификация этих процессов пока не получена.
С другой стороны, возникла теория ветвящихся процессов в случайной среде. Рассмотрение этих процессов обусловлено желанием выявить интегральные свойства различных ветвящихся процессов в изменяющихся средах. С этой целью предполагается, что сами эти среды являются реализациями некоего случайного механизма, отсюда и название — случайные среды. Чтобы исследовать ветвящийся процесс в случайной среде, необходимо знать вероятностную природу указанного случайного механизма. В настоящее время наиболее активно изучается модель Смита-Вилкинсона [64], в которой предполагается, что законы размножения различных поколений формируются независимо друг от друга. В другой популярной модели Атрея-Карлина [27] механизм формирования случайных сред носит стационарный и эргодический характер. В дальнейшем, если не оговорено противное, будет рассматриваться модель Смита-Вилкинсона.
Перейдем к точным определениям. Пусть последовательности случайных величин

одинаково распределены и независимы при разных п. Введем производящие функции
Последовательность {£„, п е N0} неотрицательных целочисленных случайных величин называется ветвящимся процессом в случайной среде {яп, п £ N0}, если
(для простоты изложения будем считать, что £о = !) Из этого определения видно, что если случайная среда фиксирована, то ветвящийся процесс в случайной среде представляет собою ветвящийся процесс в изменяющейся среде,

М(вС"+1 І £о,£і

Зафиксируем Л £ (0,min(l,ii)) и рассмотрим вероятности
Рп — Р(-/с, Вт-, к <С Tj П < Tj+i),
рп } = р(Ак,Вт; к < Tj < An, Tj+1 > п),
Р2) = Р(Ак,Вт; к < Tj < Ап, т[ > п),
В,!3) = Р(Ак, Вт; к < Tj < Ап, т{ > п(1 - А)).
Очевидно, что
Р® < Pi1} < Pi3)-
Из представления (10) и соотношений (5), (11)—(13) следует, что lim — = P(5i < Xi, i = l,k; к < Tj) P(W+(ti) < yh l = 1
n—oo Ci
lim —P3) = -7—v р(5» •P -v/TÄ ТУ+ <2/b 1=1
Из последних трех соотношений стандартным образом получаем, что
lim —Р(Ак,Вт; к < Tj < п < rj+1)
п—оо Ci
= Р(>5г < xt, г = 1
Из соотношений (37)-(39) следует утверждение теоремы для произвольного j £ N. Теорема 3 доказана.
Замечание 2. Пусть {rji, г G N} — последовательность случайных векторов одинаковой размерности, такая, что случайные векторы (Xi,rj1),(X2,rj2), независимы и одинаково распределены. Теорема 3 допускает следующее обобщение: если выполнено условие (1), то при любом j £ No и п —> оо случайная последовательность
{Si,rji, i £ No | Tj < n < Tj+1}
и случайный процесс
(yn(t), t £ [0, +oo) | Tj асимптотически независимы в смысле конечномерных распределений.
В заключение параграфа установим следующий результат, который нам потребуется во второй главе. Пусть
!i{n) = max (—5»), п £ No-
0<«