Эргодические и энтропийные свойства бильярдных динамических систем

• Автор: Чернов, Николай Иванович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 c. : ил

Глава I. ТРАНСВЕРСАЛЬНЫЕ СЛОЕНИЯ В МНОГОМЕРНЫХ .

• ПОЛУРАССЕЙВАЮЩХ БИЛЬЯРДАХ

§ I .Геометрические свойства полурассеивающих

бильярдных систем

§ 2. Свойства касательных отображений

§ 3. Неравномерная частичная гиперболичность

полурассеивающих бильярдных систем

§ А. Трансверсальные слоения для газа

твердых сфер в пенале

Глава II. ЭНТРОПИЯ ГРУППЫ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ

- СДВИГОВ ДЛЯ ГАЗА БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ЧАСТИЦ

§ I. Статистические оценки предельных
распределений Гиббса
§ 2. Переход к конечномерной подсистеме
§ 3. Оценка сверху энтропии группы
пространственно-временных сдвигов
Глава Ж. ЭНТРОПИЯ ГАЗА БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ТВЕРДЫХ СФЕР
§ I. Газ твердых сфер как бильярдная система
§ 2. Асимптотическое поведение энтропии при
термодинамическом предельном переходе
§ 3. Асимптотическое поведение следа
оператора кривизны
ЛИТЕ РАТУРА

Системы бильярдного типа (бильярды) являются одним из наи-

более важных классов динамических систем. Любая такая система порождается движением точечной частицы внутри ограниченной области С[ (£ -мерного евклидова пространства или с/-мерного евклидова тора ( о1 Ь& ). Частица движется с постоянной скоростью внутри 0, и отражается от границы по закону "угол падения равен углу отражения" (модуль вектора скорости всегда равен 1 ).
Помимо самостоятельного интереса бильярдные системы интересны еще и тем, что естественно возникают в ряде физических моделей. К таковым относятся газ Лоренца (см. [&0] , [30] ), газ Рэлея (см. [$0] ) и газ твердых сфер (см. [ I 7,
Граница области С[ в этих моделях обладает одним общим свойством: она выпукла внутрь области в каждой своей регулярной точке (точке гладкости).
ч - * •
Наиболее хорошо изучены т.н. рассеивающие бильярдные системы, т.е. такие, у которых граница области С[ строго выпукла внутрь С[ в регулярных точках. Газ Лоренца, порождаемый движением частицы на торе с вырезанным кругом - типичный пример такой системы. В работах Я.Г.Синая [$ ]3 [&0] доказано, что рассеивающие бильярды обладают свойствами эргодичности, перемешивания и К-своЙством. В работе Л.А.Буниыовича и Я.Г.Синая
[3] исследована скорость убывания корреляций методом марковских разбиений.
Однако ряд физических моделей (газ твердых сфер, газ Рэлея) являются бильярдами в области С[ , граница которой нестрого выпукла внутрь , т.е. возможны подпространства плоских направлений с нулевой кривизной. Такие бильярды называются подурас-сеивающими.
Так же, как и в случае гиперболических систем, эргодичес-кие свойства полурассеивающих бильярдов исследуются с помощью трансверсальных слоений или иначе - устойчивых и неустойчивых многообразий (определение приводится ниже). В случае рассеивающих бильярдных систем размерность слоений равна Л-1 В полурассеивающих бильярдах она может быть меньше в зависимости от свойств края
В главе I исследуются трансверсальные слоения и вычисляется их размерность для общих полурассеивающих бильярдов. Мы предполагаем, что граница Ъ удовлетворяет следующим условиям
(охватывающим все перечисленные выше модели):
'№ ) поверхность кусочно-гладкая с конечным числом
регулярных компонент
(0[£1) в точках пересечения любых двух регулярных компонент

границы вектора нормалей к ним неколлинеарны;
(03 ) граница Э<2 выпукла внутрь С[ . Точнее, в каждой регулярной точке ^ С'Ъ 0, оператор К(0) (^) второй квадратичной формы поверхности 3(2 по отношению к вектору нормали п(у) , направленному внутрь области , неотрицательно определен; /
(04 ) обозначим расстояние в римановой
метрике на поверхности Ъ оот точки С^£*с) до множества С1 особых точек края . Тогда

А с: с/іі имеем ( Р А Л А)-^ (9 при и -> О Выберем в потоке £г "базис", т.е. систему
где ((ід , ... і ^р) - базис в Лр . Выбранный базис порождает дискретную подгруппу , изоморфную . Если в потоке
С" выбран некоторый стандартный базис, порождающий подгруппу Г , то энтропия потока С" определяется как Энтропия группы Г і порожденной любым другим базисом ^ рЦ. 5... ...)Р ^потока б , связана с энтропией потока {ур формулой
, где А - матрица перехода между
этими базисами (см. [6 ] ).
В нашем случае в качестве базиса потока ^ выберем сдвиги {2 ' ”

- £ > ••• ) ^сС э 9* 0ни поРождают некоторую дискретную подгруппу и мы положим
Докажем один общий факт из энтропийной теории. Рассмотрим группу Г"1 автоморфизмов произвольного пространства Л , изоморфную
ЛЕММА 2.6. Пусть ^ ^ < ... - неубывающая последовательность конечных измеримых разбиений пространства Л ,
^ ПРИ 71-> 00 ( £ - разбиение Л
такая, что на точки). Тогда
71 ->рО
1гг)=/^ КЦ,г).
Аналог этой леммы при р = 4 приведен в книге П.Биллингслея[^] Доказательство. Пусть группа Г порождается автоморфизмами “) Т/ - ••• 5 Ть . Для любого измеримого разбиения К обозначим . ?Т = У ^ ^ • ?Г=^Тх...Тр ,
^ У "• У ^т<.-ТГ-()тр я
Пусть ь и у - измеримые разбиения пространства сЖ Имеет место формула Пинскера (сы. £ 6^ ):
А V г)= П + Н (Ч/'с,^-).. (2.6)