Оптимизация структуры моментных оценок точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин

• Автор: Шевцова, Ирина Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 354 с.

Содержание

Список сокращений и условных обозначений

Введение

Содержание работы

Глава 1. Аналитические методы теории вероятностей

1.1. Элементарные неравенства

1.2. Улучшение моментного неравенства Эссеена

1.3. Точная мажоранта третьего центрального момента в терминах абсолютного третьего центрального момента

1.4. Точная мажоранта абсолютного третьего центрального момента

в терминах нецентрального

1.5. Преобразование смещения квадрата и его свойства

1.6. Оценки точности аппроксимации характеристической функции
первыми членами её разложения в ряд Тейлора
1.7. Оценки действительной части и абсолютного значения характеристической функции
1.8. Улучшение моментного неравенства Мизеса для решётчатых
распределений
1.9. Оценки характеристической функции и её производных в окрестности нуля
1.10. Неравенства сглаживания
Глава 2. Оценки остаточного члена в ЦПТ для сумм независимых случайных величин
.2.1. История. Классификация асимптотически правильных констант
2.2. Асимптотические равномерные оценки
2.3. Нижние оценки. Значения асимптотически правильных констант
2.4. Абсолютные равномерные оценки
2.5. Абсолютные неравномерные оценки
Глава 3. Оценки точности нормальной аппроксимации для обобщённых пуассоновских распределений
3.1. Исторический обзор
3.2. Верхние асимптотические оценки
3.3. Нижние оценки
3.4. Абсолютные равномерные и неравномерные оценки
Заключение
Литература
Публикации автора по теме диссертации

Список сокращений и условных обозначений
• цпт — центральная предельная теорема;
• в.п. — вероятностное пространство;
• с.в. — случайная(-ые) величина(-ы);
в о.р.(с.в.) — одинаково распределённые (случайные величины);
• р.р.(с.в.) — разнораспределённые (случайные величины), случай одинакового распределения при этом не исключается;
• н.о.р.с.в. — независимые одинаково распределённые случайные величины;
• ф.р. — функция распределения;
• х.ф. — характеристическая функция;
• п.н. — почти наверное (с вероятностью единица);
• □ — конец доказательства;
— соответственно множества всех комплексных, действительных, целых, натуральных чисел;
• V — операция максимума, а V Ь = тах{а, 6};
• А — операция минимума, а А Ь = тт{а, 6};
• ж+ = х V 0, х Е К;
• х~ = (—х) V 0, х Е И;
• sign2: — знак вещественного числа х:
• [я] — наибольшее целое, не превосходящее х Е К;
• [х] — наименьшее целое, не меньшее х Е И;
• Ш.г, 5$ г, г Е С — соответственно действительная и мнимая части г;
Следовательно, /(ж) монотонно возрастает при х > 3. Пусть теперь 0 < х 3. Имеем
... л , х (. х х х
fAx) = 2 — ж sm ж — 2 cos ж = 4 sm - sin — — — cos — > 0, 0 < ж < 2л,
1V ' 2 V 2 2 2
так как siny > 0 и siny > ycosy при 0 < у < л в силу леммы 1.1. Таким образом, /((ж) монотонно возрастает при 0 < ж < 2л и /{(0) = 0, а следовательно, fi(x) = ж4/'(ж) > 0 при 0 < ж < 2л, т.е. /{(ж) > 0 для всех ж > 0. Итак, окончательно заключаем
sup |/(ж)] = sup /(ж) V sup( /(ж)) = lim /(ж) V lim (-/(ж)) = 1/12. □
х>0 я>0 ж>0 0° z->°+
Лемма 1.5.

n->oo, neN
vr(E
Я rt Je
е Птпг

Зутт'
Доказательство. Как известно, (см., например, [1, 6.5.13, 6.1.38, 6.5.35]),

°° ime_f dt = Г(т + 1’т) ml
ml = л/2mra+12 exp | — m +
Г(т+1,т) =(“)“(
— 1 12m/’
0 < в < 1,
лт 2 л
2~ + з
m -> oo,
откуда и вытекает утверждение леммы.

Завершают данный раздел несколько утверждений, описывающих поведение функций

У гг (А)

х>0 Ж

(гж)й (ix)T
ТГ~ “

А О, п = 1,2,
для п = 1 (лемма 1.9), п = 2 (лемма 1.7), п = 3 (лемма 1.6). Введенные функции, очевидно, гарантируют выполнение неравенства

!‘“-Е

(гж)*

(гж)т

< 9п(А) —л, ж 6 R,

при каждом п е N и А 0. Прежде чем перейти к формулировке следующей леммы 1.6, напомним, что в теореме 1.1 (для (1=1) через в*3 = 3.9958... был обозначен единственный корень уравнения
ж2 + 2ж8шж + 6(соэж — 1) — 0, же (0, 2л),