Алгебраические методы оптимального статистического оценивания

• Автор: Сапожников, Павел Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 284 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Семейства вероятностных распределений, порожденкы группами преобразований
1. Семейства сдвигов
2. Примеры нахождения инвариантных мер для некоторых хорошо известных групп и общий вид семейств сдвига на однородных пространствах этих групп

3. Вспомогательные сведения и утверждения алгебраического характера
4. Структура экспонентных семейств сдвигов
5. О характеризации экспонентного семейства сдвигов достаточной статистикой
6. Примеры экспонентных семейств сдвигов, не допускающих характеризации с точностью до выбора начала отсчета

7. Семейства сдвигов на множествах матриц
8. О концепции достаточности в математической статистике
Глава 2. Алгебраический метод получения распределений
достаточных статистик
1. Методы нахождения распределений функций случайных величин
2. Распределение достаточных статистик для семейств сдвигов общего вида.. Алгебраические условия полноты достаточных статистик
3. Иллюстрация алгебраического подхода получения плотностей распределения достаточных статистик для семейств сдвига
4. Распределение достаточных статистик для семейств сдвига
при нарушении условий регулярности
5. Универсальные формулы получения НОРМД произведения плотностей
6. Некоторые приложения. Иллюстрация алгебраического метода получения НОРМД произведения плотностей семейства сдвигов
7. Алгебраический подход к оцениванию и характеризации линейной регрессии
Глава 3. Прогностические оценки плотностей
1. Эквивариантные обобщенно байесовские оценки произведения плотностей семейства сдвигов
2. Унификация процедур оптимального оценивания плотностей экспонентного семейства сдвигов
3. Распределения некоторых инвариантов и их роль в задачах оптимального оценивания плотностей
4. Примеры нахождения плотностей распределения инвариантов
и оптимальных оценок
5. О характеризации распределений распределением инвариантов
6. Примеры характеризаций распределением инвариантов
Библиографический список

Введение
Диссертация посвящена разработке методов статистического оценивания и характеризации инвариантных семейств распределений некоторыми свойствами статистик. Предполагается, что значения наблюдаемых случайных элементов могут быть не только числами (или числовыми векторами), но и точками поверхности (многообразия) достаточно общего вида. Ограничение, которому должна удовлетворять область значений случайного элемента, состоит в том, что при воздействии любого преобразования из некоторого множества О точки этой области переходят в точки той же области (многообразия), а само множество преобразований содержит тождественное преобразование, обратное преобразование для каждого элемента и любое преобразование, являющееся результатом последовательного выполнения двух преобразований. Множество преобразований с указанными свойствами называют группой, а многообразие X, точки которого преобразуются в точки того же многообразия под воздействием любого преобразования из группы С, - ее инвариантным пространством или С-пространством [34]. Если любая точка многообразия X может быть переведена в любую другую с помощью некоторого преобразования из С, его называют однородным пространством этой группы преобразований. Распределение случайного элемента со значениями на С-пространстве также преобразуется определенным образом, если сам случайный элемент подвергается воздействию какого-либо преобразования из С. В результате данному случайному элементу можно поставить в соответствие семейство, элементами которого являются распределения случайных элементов, полученных всевозможными преобразованиями из

V - подходящим образом нормированная инвариантная мера на группе характеров 0, а Р*(х) = / х{д)Р{д) ~ функция, определенная на груп-пе характеров. Эту функцию и называют характеристической функцией вероятностной меры Р [145]. Современная теория характеристических функций на локально компактных группах с применением к исследованию предельного поведения композиций вероятностных мер на группах развита в книге Х.Хейера [73]. В диссертации понятия характеристических функций распределений на группах используются в основном при цитировании результатов других авторов, так как основная задача диссертации - получение характеризационных результатов, разработка методов нахождения распределений статистик и построения оптимальных оценок на основе алгебраических свойств рассматриваемых семейств (совокупностей) без привлечения аппарата характеристических функций. Стремление избежать использования этого аппарата связано с большой сложностью его аналогов для случайных совокупностей со значениями на многообразиях.
О представлении компактных групп
Топологическая группа называется компактной, если ее топологическое пространство компактно. Общеизвестными примерами компактных групп являются группы 50 (р), 17 (р). Из них II (р) - группа унитарных матриц - играет особую роль в теории компактных топологических групп, так как всякая компактная группа Ли изоморфна некоторой подгруппе в группе II (р) при подходящем значении р [16].
Представление компактной группы О определяется как отображение д —» Ьд группы в пространство линейных ограниченных операторов сепа-