Эргодические свойства газа Лоренца и близких к нему динамических систем

• Автор: Ефимов, Константин Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 85 c. : ил

Глава I. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ТИПА. ГАЗА ЛОРЕНЦА
§ I. Газ Лореща на плоскости с конечным числом
рассеивателей
§ 2. Эргодические свойства взаимодействующего газа
Лоренца
Глава II. БИЛЬЯРДНЫЕ СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ
КОНФИГУРАЦИЕЙ РАССЕИВАТЕЛЕЙ НА ПЛОСКОСТИ
§ I. Условия разрешимости уравнения / -
§ 2. Гидродинамические моды УГ - частичного газа Лоренца с периодической конфигурацией рассеивателей
§ 3. Доказательство центральной предельной теоремы для
бильярдов
§ 4. Оценка коэффициента диффузии для модели Махты-
-Цванцига
ЛИТЕРАТУРА

Одной из основных и наиболее популярных моделей неравновесной статистической механики является газ Лоренца. Она была предложена в 1905 году голландским физиком и математиком Г.А.Лоренцем как модель электропроводности металлов и е тех пор носит его имя /см. [i] /.
Газом Лоренца называется динамическая система, которая описывает поведение счетного числа частиц, свободно движущихся в между хаотически разбросанными неподвижными сферическими рассеивателями, от которых частицы отражаются по закону упругого удара /тангенциальная составляющая остаётся неизменной, а нормальная меняет знак/. В диссертации всюду рассматривается случай d
Газ Лоренца относится к классу динамических систем бильярдного типа /см. [2] /. Иногда под газом Лоренца понимают также динамические системы, порождённые движением одной частицы, свободно движущейся в [R. между неподвижными сферическими рассеивателями с аналогичным отражением от них. В тексте диссертации во избежание путаницы такие динамические системы в отличие от систем, о которых говорилось выше, называются бильярдами в соответствии С [2]
Газ Лоренца интенсивно изучается и до настоящего времени. Здесь можно упомянуть математические работы Я.Г.Синая [з, 4] ,
Л.А.Бунимовича и Я.Г.Синая [5-7] , Г.Галавотти [8, 9] , Г.Гала-вотти и Д.Орнетейна [ю] , Ш.Голдстейна, Дж.Лебовица и М.Айзен-мана [il] , А.Крамли и Д.Саса [I2-I3] , Дж.Махты и Р.Цванцига
и др. Подробный анализ проблем, относящихся к этой модели,
содержится в большом обзоре

Необходимость исследования газа Лоренца объясняется тем, что эта динамическая система естественно возникает при моделировании некоторых физических процессов. К таковым, например, относится движение медленных нейтронов в тяжелой жидкости /см.
[1б] /, поведение смеси двух газов, один из которых состоит из легких молекул массы тп » а другой - из тяжелых молекул массы М / /м ^ 4 /; см. »например, [15, 17] .
Одним из первых вопросов, возникающих при исследовании газа Лоренца, является вопрос о его эргодичности. Впервые положительный ответ на этот вопрос был дан Я.Г.Синаем в [з] для; динамической системы, описывающей движение материальной точки на торе с конечным числом неподвижных рассеивателей. Им было показано, что эта динамическая система является К-системой, а значит, имеет достаточно сильные статистические свойства. Из того, что динамическая система является К-системой, следует, что она эргодична, обладает перемешиванием всех степеней, а также, что сопряженная группа унитарных операторов в подпространстве функций с нулевым средним имеет счетно-кратный ле-беговский спектр /см. [18, 19] /.
В первой главе настоящей диссертации рассматриваются две динамические системы, относящиеся к газу Лоренца. Опишем их подробнее. Дусть подмножество точек плоскости,
являющихся центрами рассеивателей. Считаем, что для всех <■ Ф $ • Здесь си&Ь - евклидова метрика на
ПЛОСКОСТИ -[ос1си^(ОС, •/} . Это множество называем рассеивателем с центром в точке 11.
<*~А
Пусть X£ - расслоение, базой которого служит 0£ ,
а слоем над кадцой точкой °к - единичная окружность £ (<$•

Доказательство. Имеем (соНу,.}^т)уц*(сОП)1,,?й)п
— /5— (^п )‘''^ь~п))[/^о(с^Пг"}^-т)^}211^17,1.^(с0кг--)с^ь-т)'
^ Н
'^о ьУц-уп)^ ^г— 1§тн(Жп,Ц,-»г>)| '^о (^п,ьЗп-п?)^

Лемма 2.8 доказана.
Лемма 2.9. При некоторой положительной постоянной С% справедливо следующее неравенство
? - - ($т+4 (£>уьу”) ь^п-цп У'^оС^Пу'-^н. -т С8

Доказательство. Имеем
— /§ М+-1 (&П- > ^п-пп)! "^0 (С^п> *“>^— /с$т+1 (^п;^-/я)/*

‘чХо(Ык^Сдп-т,...)^
+ Лемма 2.9 доказана.
Лемма 2.10. При некоторых постоянных Су , С17УО и справедливо следующее неравенство
2-—$т-Н (^и}^} с^п-т)1Мг(с^п,^)с^п~П})Ы: Су 'Я?
Х/1
Доказательство. Имеем/ 2^.^т + 1(а)цг...,с0^м)^*(а3^’у
I. • I
+ I^Г- $ мН с^Ч-т)' 2.7, 2.8 и 2.9. Лемма 2.10 доказана.
Лемма 2.11. При некоторой положительной постоянной С^0