Асимптотический анализ вырожденных U-статистик второго порядка: оценки точности аппроксимации и функций концентрации

• Автор: Зубайраев, Тимур Асламбекович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 83 с.

Предисловие
Одним из центральных объектов в теории вероятностей являются суммы независимых случайных величин. Интерес к задачам, связанным с суммированием независимых случайных величин, появился в математике еще в XVIII веке. Невозможность прямых вычислений распределений сумм независимых случайных величин приводит к необходимости получения и изучения асимптотических формул для них, то есть таких формул, которые позволяют находить с нужной точностью требующиеся нам вероятности, связанные с суммами случайных величин. Эти формулы даются предельными теоремами теории вероятностей. Таким образом, аппроксимация многократных сверток распределений потребовала развития содержательной математической теории, которая называется теорией предельных теорем для сумм независимых случайных величин.
Впервые исследования но 11-статистикам были проведены в работах Халмоша [1], фон Мизеса [2] и Хефдинга [3] в конце 40-х годов XX века. 11-статистики являются алгебраическим обобщением суммы независимых случайных величин и относится к классу симметрических функций. Интерес к таким случайным объектам возник сначала в математической статистике в задачах оценки функционалов от распределений. И-статистики, как объект вероятностной теории суммирования, с одной стороны "алгебраически" более сложны, чем суммы независимых случайных величин и векторов, с другой - содержат в себе существенные элементы зависимости, проявляющиеся в мартингальных свойствах (см. например [4]). Кроме того, 11-статистики занимают одно из центральных мест в статистических задачах.
С самого начала теория 11-статистик развивалась под влиянием классической теории суммирования независимых случайных величин. Вместе с тем, асимптотическая теория 11-статистик имеет специфические черты и качественно отличается от теории сумм независимых случайных величин. Многие асимптотические свойства 11-статистик зависят от ранга г ядра, связанного со статистикой, и условий на моменты ядра. Для невырожденного ядра и ранга г = 1 асимптотическое поведение 11-статистик сводится к асимптотическому поведению суммы случайных величин. Если г > 2 (ядро вырождено), то предельные распределения 11-статистик представляют собой более широкий класс, включающий в себя бесконечно делимые распределения, распределения с функционалами, определенными ядром, конечно и бесконечномерными нормальными векторами. Такие особенности И-статистик создают новые идеи в контексте предельных теорем и требуют развития специальных методов исследования.
Историю развития оценок точности аппроксимации для И-статистик в случае бесконечномерного пространства можно разделить на два этапа. Первый этап связан с получением оценок, оптимальных по N - объему выборки, а второй по зависимости от характеристик оператора, ассоциированного со статистикой.
Настоящая работа посвящена асимптотическому анализу вырожденных И-статистик второго порядка.
Для вырожденных И-статистик второго порядка скорость сходимости к предельному распределению исследовалась в 1973 году Грэмсом и Сер-флингом [5], которые получили оценку типа Берри-Эссеена 0(И~1^+е), £ > 0. Оценка улучшена в 1974 году Бикелем [6], а затем в 1977 году Чаном и Виерманом [7], Каллаертом, Янссеном в 1978 году [8] и Хел-мерсом и ван Цветом [9] в 1982 году, которые получили порядок сходимости 0(1У~1//2). В 1979 году оценка 0(Л^1+£), £ > 0 доказана Гетце [10] с использованием неравенства симметризации Вейля при определенных
условиях на моменты и предположении о том, что ненулевых собственных значений некоторого оператора, ассоциированного с Б-статистикой, бесконечно много. Данный результат не является оптимальным ни по зависимости от IV, ни по зависимости от характеристик оператора. Позже асимптотическими свойствами и получением разложения Эджворта для вырожденных И-статистик занимались Гетце [11], Королюк и Боровских [4]. В монографии Королюк, Боровских [4] оценка улучшена до порядка о(IV-1/2). В работе Гетце и Зитикиса [12] получена аппроксимация со слагаемыми О (IV"1) при определенных предположениях о гладкости ядра и распределения элементов выборки. В 1999 году Гетце и Бенткус в [13] доказали оценку точности аппроксимации для Б-статистик, которая является оптимальной по N и получена в оптимальных моментных условиях. В той же работе построены оценки для функций концентрации 11-статистик. Оба результата содержат константу, которая имеет экспоненциальный порядок зависимости от собственных значений некоторого оператора, ассоциированного с ГГ-статистикой. Такая зависимость от собственных значений оператора, ассоциированного с Б-етатистикой может быть заметно улучшена, что и сделано в настоящей работе.
Исследования Б-статистик ведутся и по другим направлениям: для хвостов распределений вырожденных Б-статистик произвольного порядка, построенных по выборкам из последовательности стационарно связанных наблюдений Борисовым И.С. и Володько Н.В. в [14] получены экспоненциальные неравенства. Помимо этого, Борисов И.С. и Жечев В.А. доказали предельные теоремы для Б-статистик от зависимых наблюдений в [15], Борисов И.С. и Володько Н.В. доказали предельную теорему для Б-процессов от стационарно связанных наблюдений в работе [16]. Для статистик Мизеса - частного случая Б-статистик, Борисов И.С. и Саханенко Л.А. в [17] доказали центральную предельную теорему. Тихомировым А.Н., Гетце и Юрченко в [18] получены асимптотические разложения в центральной предельной теореме для квадратичных форм.

Лемма 1.4Л Пусть й > 0 и в Е N. Предположим, что сумма У = (2т)~1//2(Х1 + ... + Хт) удовлетворяет условиям невырожденности ■ ■ -Уд,р). Тогда существуют константы сДз, д) и с2(.§, д) такие, что событие
Б = {ф(Ь -7)^(< + 7) < сх(з,(1)-^М8('Угп;рМ/т)}, (1.4.2)
удовлетворяет условию
Р{£>} > 1 - с2(з, д){рМ/туЛ. (1.4.3)
Доказательство. Доказательство леммы по существу повторяет доказательство леммы 7.1 в работе Бенткуса и Гетце [13]. Однако, в лемме
1.4.1 оценка содержит зависимость от собственных значений д3, что играет важную роль в доказательстве основных результатов диссертации.
Напомним, что Ь, К, К0 определены в (1.3.2). Пусть щ, р2) • • • - независимые одинаково распределенные случайные величины такие, что Р{/д = 1} = Р{Л = 0} = 1/2.
Запишем
У3 = (2т,у1/2 ^2 Хк,1(Л = (ту - т, ту), (1.4.4)
ш 0)
Аг = ^2 , У у, для 1 < г < 3, (1.4.5)
(г—
где ё] симметризация независимых одинаково распределенных случайных величин Радемахера.
Рассмотрим следующую оценку:
2ф2(т - 7)ф2(т + 7) < Ер,е{туф(Аи Л2)} + Ер,£{то7<ДЛь Л3)}, (1.4.6)
где математическое ожидание ЕР)£ берется по переменным рьРг,... и £1, £2 . . •
Докажем (1.4.6), для этого воспользуемся простым равенством. Пусть Съ Сг • • • - независимые копии последовательности $х,1?2 • • • определенной