Асимптотическая эффективность ранговых критериев независимости

• Автор: Степанова, Наталья Александровна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 97 с.

Оглавление
Введение
1 Некоторые факты из теории вероятностей, математической статистики и теории экстремальных задач
1.1 Сведения из теории 11-статистик
1.2 О питменовском подходе к вычислению асимптотической эффективности
1.3 Несколько фактов из теории копул
1.4 Две теоремы из теории гладких экстремальных задач
1.5 Теорема Реймхарта-Шорака-ван Цвета
2 Асимптотическая эффективность многомерных критериев Кендалла и Спирмена
2.1 Введение
2.2 Постановка задачи и применяемые статистики
2.3 Многомерные коэффициенты корреляции Кендалла и
Спирмена как тестовые статистики для проверки независимости
2.4 Верхняя граница для питменовской мощности
2.5 Питменовская эффективность многомерных критериев Кендапла и Спирмена
2.6 Условия асимптотической оптимальности многомерных критериев Кендалла и Спирмена
3 Асимптотическая эффективность критериев независимости, основанных на обобщениях кендалловского тау
3.1 Введение

3.2 Постановка задачи. Определение и простейшие свойства тестовых статистик
3.3 Питменовская эффективность критериев Кочара-Гупты для проверки независимости
3.4 Условия асимптотичесой оптимальности критериев независимости Кочара— Гупты
4 Взвешенные ранговые критерии независимости и их асимптотическая эффективность
4.1 Введение
4.2 Постановка задачи и применяемые статистики
4.3 Асимптотическая эффективность и асимптотическая оптимальность взвешенных ранговых критериев независимости
Литература

Введение
Проверка гипотезы независимости принадлежит к числу наиболее важных задач математической статистики. Для проверки независимости нередко используют ранговые коэффициенты корреляции, наиболее известными среди которых, несомненно, являются коэффициенты корреляции Кендалла и Спирмена. Свойства этих мер зависимости изучены достаточно хорошо [48], [81], [3], [5], [7], [10], [17], [58].
В основе ранговых методов лежит идея перехода от последовательности наблюдений к набору рангов, поэтому они могут использоваться, когда известны лишь результаты упорядочения наблюдений. С этим свойством ранговых процедур связаны их многочисленные приложения в психологии, медицине, социологии и др. областях знаний. В последние десятилетия появилось большое количество задач, в которых на основе обработки данных требуется сделать вывод и дать практические рекомендации в ситуациях, когда традиционные методы оказываются либо неприменимыми, либо малоэффективными. Таким образом возникают разнообразные обобщения классических коэффициентов корреляции. Новые статистики предлагаются, как правило, из эмпирических соображений. По мнению их авторов они ’’должны работать” в той или иной задаче проверки гипотезы независимости. Поэтому важно понять, когда же эти статистики действительно работают и обладают максимальной эффективностью.
Новые коэффициенты корреляции, появившиеся в литературе и используемые на практике сравнительно недавно, изучены не столь хорошо, как их ’’предшественники” . Они обладают более сложной структурой, чем классические меры взаимосвязи, и исследование их свойств сопровождается значительными трудностями технического характера.
Настоящая диссертация посвящена изучению асимптотических свойств и вычислению асимптотической эффективности различных обобщений коэффициентов кор-

что то же самое, Е(хх, хт) = шт{ (2:1)
Рп = ~Гр (2-3-1)
где У1П — коэффициент конкордации Кендалла, о котором известно [5, § 7.5] , что О < Уга < 1. Статистика 1Ущп нормирована таким образом, что все ее значения также больше —1.
Несимметричность понятий ’’согласованности” и ’’рассогласованности” в многомерном пространстве отчасти объясняется на основании соотношения (1.3.3) и теоремы (1.3.1): для каждого тп > 2 функция тт-Дац)
Обозначим через [/„ любой из коэффициентов т%*п, р™%, или Ут,п- Согласно общей теории и-статистик (теорема 1.1.2)
/п{ип - 7п(0)) АЛГ(0, к2щ), (2.3.2)
где т(в) = Ед11п и к — степень ядра Ф* статистики 11п, причем
ЕвФ1(Хи... ,Хк) <оо (2.3.3)
и для Ф(ж1) = ЕвФк(Хи... ,ХкХх =хх)
Ш = ЕвФ2(Хх) - т2{в) > 0. (2.3.4)

Индекс к в соотношении (2.3.2) принимает значения 2, т, и 7П + 1, когда £/„ есть т, или И'т п соответственно. Для функций /, Л, и Ф, из (2.2.6)-(2.2.8) и ядра Ф/; статистики 11п Ф2 = /, Фт = к, Фт+1 = Ф. Условие (2.3.3) выполняется очевидным образом в силу определений (2.2.2)—(2.2.4). Проверим условие (2.3.4), означающее невырожденность 11-статистик , рп и Шт>п. Сначала будем предполагать, что случайный вектор X ~ (Хх