Оптимальные стратегии перестрахования и инвестирования в стохастических моделях риска

• Автор: Громов, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 109 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Оптимальные стратегии в модели Крамера-Лундберга
§1.1 Оптимальная стратегия перестрахования
1.1.1 Уравнение Беллмана-Гамильтона-Якоби
1.1.2 Существование решения уравнения Беллмана-Гамильтона-Якобп
1.1.3 Существование оптимальной стратегии перестрахования
1.1.4 Численные примеры
§1.2 Оптимальная стратегия перестрахования и инвестирования
1.2.1 Уравнение Беллмана-Гамильтона-Якоби
1.2.2 Существование решения уравнения Беллмана-Гамильтона-Якоби
1.2.3 Существование оптимальной стратегии
1.2.4 Численные примеры
Глава 2. Оптимальные стратегии в модели с дополнительным вливанием капитала.. 48 §2.1 Оптимальное инвестирование
2.1.1 Уравнение Веллмана и оптимальная стратегия
2.1.2 Оптимальное инвестирование в одношаговой модели
2.1.3 Оптимальное инвестирование в мношаговой модели
2.1.4 Численная реализация
2.1.5 Оптимальное инвестирование в случае бесконечного горизонта планирования 61 §2.2 Оптимальное перестрахование
2.2.1 Случай пропорционального перестрахования
2.2.2 Случай перестрахования эксцедента убытка

Глава 3. Пределельное распределение капитала в модели с дополнительным вливанием капитала
§3.1 Предельное распределение капитала в случае постоянной стратегии инвестирования
§3.2 Случай экспоненциального распределения требований
§3.3 Предельное распределение капитала в случае постоянной стратегии инвестирования и перестрахования
Список литературы

Введение
В настоящее время страхование играет существенную роль в экономической и социальных сферах общества, а страховые компании, наряду с банками, стати важнейшими финансовыми институтами. Возрастающие потребности людей в финансовой защите своего имущества, жизни и здоровья, кредитных рисков и ценных бумаг влекут усиление роли страхования в обществе и развитие страховых компаний. Кроме того, страхование имеет и инвестиционную функцию. Современные страховые компании обладают большими объемами временно свободных денежных средств, активно вкладывают их в различные ценные бумаги и недвижимость. Развитие страховых компаний и усиливающаяся потребность в актуарных расчетах в свою очередь ведут к развитию математического аппарата теории риска.
С начала XX века по сегодняшний день было предложено и рассмотрено достаточно большое количество различных моделей коллективного риска, моделирующих деятельность страховой компании. Одной из наиболее ранних моделей является классическая модель риска Крамера-Лундберга, основные элементы которой были разработаны в трудах шведских математиков Ф. Лундберга и Г. Крамера. Докторская диссертация Лундберга [37] была посвящена коллективной модели риска и в ней впервые было предложено использовать пуассоновский поток для моделирования моментов поступления требований в компанию. Работы Крамера [19], [20], [21] также посвящены коллективной теории риска и ее приложениям в страховании.
В модели Крамера-Лундберга предполагается, что размеры поступающих в компанию требований УЬУ2,... — неотрицательные независимые и одинаково распределенные (н.о.р.) случайные величины (с.в.) с функцией распределения С}{у), а моменты поступления требований ТьТг,-.- образуют пуассоновский поток интенсивности А > 0. Пусть с > 0 - приход страховой премии в единицу времени, — число точек пуассоновского потока па отрезке [0,1], а а > 0 — начальный капитал компании. Тогда капитал компании

с граничными условиями 7(0) = 1 и 7(а) = 0 при в < 0.
Как уже было доказано выше, максимум по А > 0 левой части (1.29) достигается в точке
л» = -^>0- <1-30> Подставив это выражение в (1.29), получаем
+с(Ь)7/(-,)+МЕЫз ~тЬ{ь’у})] -7(8))}=а ^,31^
Поскольку функция в левой части уравнения (1.31) непрерывна по в и Ь, то согласно теореме об измеримом выборе найдется измеримая функция Ь*(а), в которой достигается максимум в (1.31) и соответственно в исходном уравнении (1.29).
Прежде чем двигаться дальше, сделаем несколько полезных замечаний. Во-первых, ясно что /4(0) = 0. Действительно, в случае /4(0) ф 0 в силу неограниченности вариаций винеровского процесса, вероятность неразорения равно 0 и, очевидно, не является оптимальной, поскольку, например, при отсутствии инвестиций и перестрахования (т.е. А = 0, Ь = оо), вероятность неразорения <5(0) = 1 — EYfc > 0. Во-вторых, равенство /4(0) = 0 влечет, согласно формуле (1.30) и лемме 1.6, Нт^т"(з) = —оо.
Наконец, заметим, что для достаточно малых а максимум в (1.31) достигается в точке 6* (а) = оо, иными словами, при достаточно малом начальном капитале оптимальной стратегией будет чистое инвестирование без перестрахования. Более строго, справедлива
Лемма 1.7. Пусть 7(5) решение (1.31) на интервале [О, К) для достаточно малого 6 > 0. Тогда сухцествует е > 0 такое, что 6* (в) = оо при в < е.
Доказательство. Прежде всего заметим, что 6(0) = оо. Действительно, при подстановке в (1.31) значения а = 0, воспользовавшись замечанием выше, получаем уравнение
Бир (с(6)7'(0) — А7(0)} = 0. (1.32)

Выражение слева представляет собой линейную функцию, которая при 6 > 0 неограниченно возрастает, поэтому супремум достигается при Ь —> оо. Далее, рассмотрим функцию от двух переменных
Щз,Ъ) ■- + с(ЬЪ'(з) + (ЕЫа - шга{6,У})] - 7(в)).