Неравномерные и квазинеравномерные оценки для асимптотических разложений в ЦПТ

• Автор: Сюлюкин, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 69 с.

Содержание
Введение
1 Разложения Бергстрема-Чебышева для плотностей
1.1 Формальные разложения
1.2 Частный случай формулы для остаточной части разложения Бергстрема-Чебышева
1.3 Формула для остаточной части разложения Бергстрема-Чебышева в общем случае
1.4 Равномерные оценки остаточных частей разложения Бергстрема-Чебышева
2 Неравномерные и квазинеравномерные оценки для разложения Бергстрема-Чебышева для плотностей
2.1 Неравномерная оценка для короткого разложения Бергстрема-Чебышева
2.2 Квазинеравномерные оценки
3 Некоторые обобщения и дополнения
3.1 Обобщение разложения Бергстрема-Чебышева на многомерный случай
3.2 Разложение Бергстрема,-Чебышева для функций распределения
3.3 Разложение Бергстрема-Чебышева для решетчатых случайных величин
3.4 О связи разложения Бергстрема-Чебышева с разложениями Грама-Шарлье и Эджворта-Крамера

Введение
Асимптотические разложения в центральной предельной теореме впервые появились в работе П. J1. Чебышева ”0 двух теоремах относительно вероятностей” 1887 года (см. [15]). В этой работе им был выписан следующий формальный ряд1
. v , Лг 1(х,Р)ф(х)
Рп(х) = ф(х) + 22 / (0-1)
i=i п~2
Здесь рп(х) - плотность (если она существует) распределения нормированной суммы (Х 4- Хч + ... + Хп)п~2 независимых случайных величин Xj, j G 1, п, с нулевым средним, единичной дисперсией и общим распределением Р, ф(х)
- плотность стандартного нормального закона, Ti(x,P) - некоторые многочлены степени 31, зависящие от первых I + 2 моментов распределения Р и не зависящие от п.
Позже Шарлье, по видимому не зная об упомянутой работе Чебышева, использовал возможность разложения произвольной функции в формальный ряд по ортогональным с весом ф(х) многочленам, которые сейчас называют многочленами Чебышева-Эрмита, чтобы приближать такими рядами неизвестную плотность распределения (см. [7]). Для рп{х) этот ряд имеет вид
Рп{х) = ф{х) + -——ЩхЩх). (0.2)

Здесь Нфх) = (—1Удгр I — 0,1

Hi{x)pn(x)dx

- моменты Чебышева-Эрмита плотности рп(х), Рп обозначает распределение, соответствующее ПЛОТНОСТИ Рп(х).
Ф. Эджворт также изучал асимптотические разложения в ЦПТ (см. [26]) и, вслед за П. Л. Чебышевым, вновь получил ряд (0.1). Все перечисленные исследователи ограничивались поиском формальных разложений, и только в 1920-х годах Г. Крамер получил первый строгий результат о скорости сходимости остаточных частей разложения (0.1) для функций распределения. Начиная с 50-х в след за Г. Крамером асимптотические разложения активно изучались другими исследователями. Упомянем Г. Бергстрема, который, получил ряд (0.1), используя следующее асимптотическое разложение
‘Вообще говоря, П. Л. Чебышев получил ряд для вероятностей. Нам же будет удобно вести изложение в терминах плотностей распределений.

Рп(х) = * (Р1(яг) - ф1{х)У'{1

называемое теперь разложением Бергстрема (см. [21]). Здесь * - операция свертки распределений, ф1_1(х) - плотность нормального распределения с

нулевым средним И дисперсией 1 — У Р{х) = л/пр(у/пх), где р(х) - некоторая плотность распределения с нулевым средним и единичной дисперсией. Отметим отдельно известную работу Л. В. Осипова [10], в которой он выписал оценку скорости сходимости асимптотического разложения в ЦПТ. Ссылки на других авторов, занимавшихся этой тематикой можно найти в [1], [3], [4],
[6], [9], [11]
Исследователи периода 50-х - 70-х годов получили важные результаты, обладавшие, однако, одним существенным недостатком: оценки остаточных частей разложений давались в формах, не позволяющих получать явные оценки погрешностей. Первая явная оценка для остаточных частей асимптотических разложений, известная автору, получена Р. Шимицу (см. [30]) в 1974 году. Долгое время после этого никаких обобщений работы [30] не было. Лишь в последние годы появились явные оценки остаточных частей асимптотических разложений. Упомянем работы В. Добрича и Б. К. Гоша [25], А. Е. Кондратенко и В. В. Сенатова [8].
Основные результаты по исследованию явных оценок асимптотических разложений в ЦПТ были получены В. В. Сенатовым. В. В. Сенатов предложил для аппроксимации плотности рп(х) использовать следующее разложение
о(р ч Зтп—3 п{т) / р
Рп{х) = ф(х) + —~ Щ{х)ф{х) + у: 1~ -—-Н1(х)ф(х) + Дш, (0.3)
/=3 /=772+2

где втРп) - квазимоменты распределения Рп, которые зависят от моментов распределения Р порядка не выше т-го и вычисляются по формулам
О,1“’

, и 3!пЦ "тп
З/сзЧ -ТПкт

НУх)Р{Фх)л = 3,4

где ко, кз

мажоранты, являющиеся одновременно мажорантами для е полученные нами оценки для производных функции Сфп~2 являются оценками и
для производных функции р
Складывая (2.1), (2.2), (2.3) получаем оценку остаточной части короткого разложения Бергстрема-Чебышева. Теорема доказана. □
В заключении параграфа скажем о том, как получать неравномерные оценки для разложения Бергстрема-Чебышева с большим количеством членов в главной части, чем в теореме 2.1. Для пояснений нам понадобится следующее утверждение, которое является аналогом леммы 2.2.
Лемма 2.3. Если выполнены условия (1.18), (1.19) для характеристической функции распределения Р с нулевым средним, и единичной дисперсией, то для п > V + 3 существует плотность рп(х) и верно разложение
Р„М = ф(х)- з=<А(Ды + + + ъ,
(2.4)

Д3 = £ .По ©5 () <&+ *1
Ш = * Ер»3 () (/ () - е-Й) л.
(2.5)
Функции Qj ,3 = 3,4
Доказательство леммы 2.3 аналогично доказательству леммы 2.2, поэтому мы это доказательство опустим.
Чтобы получить неравномерную оценку для разложения Бергстрема-Чебышева (2.4), достаточно оценить каждое из слагаемых остаточной части (2.5). Легко видеть, что оценки для слагаемых из (2.5) можно получить теми же методами, с помощью которых доказывалась теорема 2.1.