О размерности некоторых неметризуемых многообразий

• Автор: Карасев, Александр Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 30 с.

Содержание.
0. Введение
§0.1. Обзор некоторых результатов.
§0.2. О когомологической размерности многообразий.
§0.3. Аксиома Мартина и размерность многообразий.
Глава 1. Бесконечномерное 4-многообразие конечной когомологической размерности при СН.
§1.1. Предварительные сведения.
§1.2. Построение примера.
§1.3. Свойства многообразия М.
§1.4. Размерностные свойства многообразия М.
Глава 2. Тождество Урысона для замкнутых подмножеств некоторых неметризуемых многообразий. !
§2.1. Предварительные сведения.
§2.2. Основная лемма.
§2.3. Об индуктивной размерности.
Список литературы

0. ВВЕДЕНИЕ
0.1 Обзор некоторых результатов
Многообразия являются одним из наиболее важных и хорошо изученных классов топологических пространств. Под п-многообразием мы будем понимать топологическое та-многообразие, т.е. пространство, локально гомеоморфное Еп. Данная работа посвящена изучению размерностных свойств неметризуемых многообразий, т.е. многообразий, не имеющих счетного атласа.
Простейшим примером неметризуемого многообразия является ” длинная” прямая П.С. Александрова L, т.е. множество элементов вида а -Ь t, где а < он счетный ординал и t 6 [0,1). Это множество упорядочено естественным образом: 0 < ii < а < а t <
а-М2<а + 15и наделено порядковой топологией. "Длинная” прямая L является одномерным гладким многообразием (см., например, [20]). Отметим, что это пространство будет играть существенную роль в дальнейшем.
В силу того, что L не является паракомпактом, данное многообразие неметризуемо согласно следующей хорошо известной теореме о метризуемости многообразий:
Теорема 0.1.1. Для связного многообразия М следующие свойства эквивалентны:
1) существование счетной базы
2), метризуемость
3) финальная компактность
4 сильная паракомпактность
б) паракомпактность.
Простым следствием данной теоремы является

Теорема 0.1.2. Пусть М - метризуемое многообразие. Тогда для М справедливо тождество Урысона
п = ind М = dim М = Ind М.
Заметим, что для любого нормального та-многообразия М мы имеем п = indM < dim М < IndM, т.к. для пространств, локально

удовлетворяющих второй аксиоме счетности, выполняется равенство indX = locdimX.
Вопрос о совпадении размерностей ind, dim многообразий, а именно,
Вопрос 0,1.1. Верно ли, что dim М — п для любого топологичес-когд п-многообразия М?
оставался нерешенным на протяжении многих лет. Отрицательный’ответ на этот вопрос был получен В.В. Федорчуком в [19]:
Теорема 0.1.3. ({}) Для любых положительных целых чисел т, п, удовлетворяющих неравенству 4 < п < т существует дифференцируемое счетно-компактное совершенно нормальное сепарабельное h-многообразие М размерности
п = ind М < т = dim М” < т + п
Здесь <)-принцип Иенсена: существует последовательность {Ja С а : а < сщ} такая, что множество {а : Ja = К f] а} стационарно для любого подмножества К С Ш. Напомним, что множество А С называется стационарным, если его пересечение с любым замкнутым: неограниченным подмножеством и>1 непусто. Отметим также, что принцип Иенсена (<(>) влечет континуум-гипотезу (СН).
Ранее в [11] В.В. Федорчуком совместно с В.В. Филипповым был построен пример многообразия с несовпадающими индуктивными размерностями:
Теорема 0.1.4. fCH,) Для любого целого числа п > 3 существует нормальное счетно-компактное п-многообразие Мп размерности
п = ind Мп = dim Мп < Ind Мп = 2п - 2.
В работе [8] пример многообразия, обладающего свойствами, упомянутыми в Теореме 0.1.3, построен при более слабом теоретикомножественном предположении, а именно в предположении СН.
Следует отметить, что пример многообразиям Теореме 0.1.4 является пространством Типа I, т.е. может быть представлен как объединение возрастающей трансфинитной последовательности открытых подпространств Ха, а. < щ, Ха С ЗС*+ъ в то время как многообразие в Теореме 0.1.3, будучи сепарабельным, не обладает данным свойством (в противном случае это влекло бы метризуемость).