Геометрия Гельмгольца и дифференциальная геометрия двумерных гельмгольцевых многообразий

• Автор: Кыров, Владимир Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Горноалтайск
• Количество страниц: 141 с.

Глава 1. Двумерные феноменологически симметричные
геометрии
§1. Гельмгольцевы плоскости
§2. Линейные гельмгольцевы пространства
§3. Циклы гельмгольцевых плоскостей
§4. Кривизна кривой
§5. Двуметрические феноменологически симметричные
плоскости
§6. Геометрическое описание идеального газа
Глава 2. Двумерные гельмгольцевы многообразия
§1. Метрические функции гельмгольцевых двумерных
многообразий
§2. Согласованные связности гельмгольцевых многообразий
§3. Длина кривой гельмгольцева многообразия
§4. Конформное соответствие гельмгольцевых многообразий
§5. Тензор кривизны гельмгольцевых многообразий
§6. Группы изометрий двумерных гельмгольцевых многообразий
Глава 3. Двумерные двуметрические многообразия
§1. Метрические функции двуметрических двумерных
многообразий
§2. Согласованные связности двуметрических двумерных
многообразий
§3. Двуметрические двумерные многообразий, допускающие
группы изометрий
§4. Применение двуметрических многообразий в неравновесной термодинамике
Заключение
Список литература

Г.Гельмгольц в известной работе "О фактах, лежащих в основании геометрии"[1] исследует свойства пространства и приходит к выводу, что в основе лежат следующие гипотезы:
1. Пространство п-измерений есть п-кратно протяженное многообразие.
2. Допускается существование подвижных, но неизменяемых (твердых) тел или систем точек.
3. Допускается вполне свободная подвижность твердых тел.
4. Два совмещающихся тела совмещаются и после того, как одно из них подвергалось вращению около некоторой оси.
Этим гипотезам удовлетворяет евклидова геометрия. В конце статьи замечается, что если отбросить аксиому 4, то в двумерном случае мы приходим к геометрии, окружностью в которой является логарифмическая спираль. Двумерная геометрия со спиралью в качестве окружности, была получена в теории физических структур Г.Г. Михайличенко [2] при классификации двумерных феноменологически симметричных геометрий.
Автором теории физических структур (ТФС) является Юрйй Иванович Кулаков, которому и принадлежит термин феноменологическая симметрия [3, 4]. Эта теория появилась в 60-ые годы. Первоначально феноменологическая симметрия была установлена для второго закона Ньютона и закона Ома, а затем перенесена в геометрию.
В качестве примера рассмотрим феноменологическую симметрию плоскости Евклида. Пусть х = (ж1, ж2) и у = (у1, у2) — две точки плоскости Евклида. Тогда квадрат расстояния между этими точками задается функцией:
/(а:, у) = р2(ж, у) = (х1 - у1)2 + (ж2 - у2)2. (1)
Для четырех точек х,у,2,и шесть их взаимных расстояний р{х,у), р(х,г), р(х,и), р(у,г), р{у,и), р(г,и) оказываются функционально связанными. Эта связь выражается при помощи определителя Кэли-Менгера
пятого порядка:
0 1111
1 0 р2{х,у) р2(х,г) р2{х,и)
1 р2{х,у) 0 р2{у,г) р2(у,и)
1 р2(х,г) р2(у, г) 0 р2(г,и)
1 р2(х,и) р2(у,и) р2(г,и)
= 0.
По терминологии Кулакова [5] данное соотношение, справедливое для любой четверки < х,у,г,и >, выражает феноменологическую симметрию плоскости Евклида.
Следуя [6], по метрической функции (1) можно найти группу движений плоскости Евклида с уравнениями:
хп = ах1 — еЬх2 + с, х'2 = Ьх1 + еах2 + с?, (2)
где а2+Ь2 = 1, е = ±1. Множество всех движений (2) выражает групповую симметрию плоскости Евклида. Г.Г. Михайличенко в работе [7] показал, что групповая и феноменологическая симметрии для некоторого класса геометрий равносильны. Такие геометрии являются феноменологически ^ симметричными. Следует заметить, что это геометрии в смысле Клейна,
о которых говорится в "Эрлангенской программе", то есть, в каком-то смысле, элементарные. Таким образом, феноменологически симметричные п-мерные геометрии - это геометрии Клейна с функциональной связью между всеми взаимными расстояниями произвольных п + 2 точек.
Г.Г. Михайличенко в конце 60-ых годов строго определил феноменологическую симметрию однометрических физических структур на двух множествах и построил полную классификацию. Затем, в 70-ые и 80-ые гг., им была определена феоменологическая симметрия на одном множестве, а также построена классификация двумерных геометрий [4, 7). Среди этих геометрий есть и гельмгольцевы. В.Х. Лев дал полную классификацию однометрических трехмерных геометрий [8].
После построения Г.Г. Михайличенко классификации двумерных геометрий, возникла проблема локального построения и изучения двумерных гельмгольцевых гладких многообразий, а также нахождения физических интерпретаций. Эта задача решается в данной работе. Схема построения двумерных гельмгольцевых гладких многообразий аналогична схеме построения римановых многообразий: в касательном пространстве произвольной точки многообразия вводится евклидова структура. В данном случае вместо евклидовой структуры берутся гельмгольцевы структуры.
Возвращаясь в систему (35’), получаем с(а) = xj — a(a)xl+b(a)x2, d(a) = Xq — b(a)xо — a(a)xQ, то есть приходим к подгруппе (30).
Докажем теперь теорему для псевдогельмгольцевой плоскости РГ2. Найдем однопараметрическую подгруппу G' группы движений G(PT2), относительно которой остается инвариантным цикл (1). Эта подгруппа имеет вид:
1|| х11 — а{а)х1 — Ъ{а)х2 + с(а), х'2 = Ь(а)х1 4- а{а)х2 + d(a),
причем (а2 — b2) exp [2/3Arthj] = ±1, где а - параметр подгруппы G'. Поскольку одноиараметрическая группа преобразований локально подобна группе параллельных переносов [19], то справедлива система (34). Таким образом, для группы инвариантности G' имеем
xt + а) = a{a)x1{t) + b{a)x2{t) + c(a),
x2(t + a) = b(a)x1(t) + a(a)x2(t) + d(a).
Заметим, что соотношения (36) представляют собой систему функциональных уравнений на подгруппу.
Предположим, что циклом является прямая, тогда для системы (36) имеем
'Ф x10 + t + a = a(a)(x10 + t)+b(a){xl + kt)+c{a),
Xg + kt + ка = b(a)(xQ + t) + a(a)(xg + kt) + d(a).
После дифференцирования системы (36’) по параметру t, получаем
а + kb — 1, Ь + ка — к,
следовательно а = 1, b = 0. Затем, возвращаясь снова в (36’), получаем
с(а) = а, d(a) = ка, то есть приходим к подгруппе (29) с условиями:
-1 <к< +1.
Предположим теперь, что циклом является еще псевдогельмгольцева окружность (7), тогда для системы (36) будем иметь:
xj + T2e~7^+a'ch(l + а) = a(ûf)(xg + iïe_7tch£)+
+ b{a)(x I + Re-^sht) + с(а),
Xq + 7?e~7^+“)sh(£ + а) = b(a)(xQ + Re~'yicht)+
+ a(a)(xg + Re^sht) + d{a).
Дифференцируя систему (36”) по параметру £, а затем полагая t = to, приходим к выражениям
а = e_7t*cha, b = e_7ash(T.