Некоторые вопросы конформной геометрии квази-сасакиевых многообразий

• Автор: Баклашова, Наталья Серафимовна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 112 с. : ил.

Глава I. Локально конформно квази-сасакиевы структуры

§1.1. Предварительные сведения

§ 1.2. Структурные уравнения Госструктур

§1.3. Компоненты ковариантного дифференциала контактной

формы Ли
§1.4. Вычисление некоторых классических тензоров ЬСОЗмногообразий на пространстве присоединенной С-структуры

Глава II. Свойства локально конформно квази-сасакиевых

многообразий

§2.1. Свойства кривизны ГС^-многообразий

1. ГС^-многообразия классов СЛ2 и СЛ3

2. Дополнительное свойство кривизны ГС^-многообразий

3.1С(Д>-многообразия постоянной кривизны
4. ГС^-многообразия постоянной ФЖ-кривизны
§2.2. О характеристическом векторе 1С£Д>-многообразий
§2.3. О вполне интегрируемости фундаментальных распределений
1С05>-многообразий
Глава III. Геометрия первой канонической связности локально
конформно квази-сасакиевых многообразий
§3.1. Первая каноническая связность ЛС-многообразий
§3.2. Тензор кручения первой канонической связности ЬС()8многообразий
Глава IV. Геометрия локально конформно квази-сасакиевых
многообразий
§4.1. Контактная форма Ли
§4.2. Контактный аналог теоремы Икуты
§4.3. Нормальные ТС^-многообразия
Список литературы

Отправной точкой к активному развитию теории контактных структур и их естественного обобщения - почти контактных структур - послужили появившиеся в 50-х годах прошлого века работы С. Чженя [27], Дж. Грея [40, 41, 42], В. Бутби и X. Вана [26]. С тех пор уже практически полвека эта теория является предметом пристального внимания геометров. Наиболее полная картина диапазона исследований контактных и почти контактных многообразий с точки зрения дифференциально-геометрических структур представлена в работах [2], [12], [20] и [21]. Такая заинтересованность данной темой среди современных исследований в дифференциальной геометрии обусловлена ее богатым внутренним содержанием, а также многочисленными приложениями в современной математической физике, в частности, в классической и квантовой механике. Есть еще одно важное обстоятельство изучения почти контактных метрических структур: они являются нечетномерными аналогами почти эрмитовых структур в эрмитовой геометрии, которая традиционно является предметом интенсивного изучения в дифференциальной геометрии. В связи с этим отметим тот факт, что на гиперповерхностях почти эрмитова многообразия естественным образом строится почти контактная метрическая структура, а на многообразии М х М, где М несет почти контактную метрическую структуру, канонически индуцируется почти эрмитова структура.
Контактной структурой, или контактной формой на нечетномерном многообразии М2п+1 называется 1-форма г/, такая, что в каждой точке многообразия т] лс1г1 д... лс1т]^0, то есть ранг формы 77 совпадает с размерностью
' V '
п раз
М2п+1. Многообразие, наделенное контактной структурой, называется контактным. Изучение почти контактных структур началось в 1953 году с работы С. Чженя [27]. Он показал, что дифференцируемое нечетномерное многообразие с фиксированной контактной формой ?/ допускает С-структуру со структурной группой {е} х и{п). Дж. Грей [42] назвал такие многообразия

почти контактными. Исследовавший это направление Сасаки в своей статье [59] доказал, что допускающее G-структуру многообразие внутренним образом несет структурную тройку тензоров (t], Ç, ф) , где 1J - ковектор, £ - вектор, Ф - тензор типа (1,1). При этом тройка тензоров удовлетворяют тождествам ?/(ç) = 1, Ф2 =-id + rj®Ç, из которых выводятся еще два: ij о Ф = О, Ф(£) = 0. Более того, произвольная риманова метрика h на таком многообразии достраивается до метрики
(ФХ,ФУ) = (Х,У)-п(Х)г,(У), гдеАи У-гладкие векторные поля на многообразии. Построенная таким образом метрика дополняет структуру (>/, После того, как в 1980 году вышла работа А. Грея и JT. Хервеллы [39] о классификации почти эрмитовых структур, перед геометрами возникла естественная задача о систематизации классов почти контактных метрических структур. По этой проблеме вышло несколько работ разных авторов, но наиболее интересной оказалась совместная работа Д. Чинеи и X. Марреро [31]. Для классификации указанных структур они изучили представление группы {е}хК(п) на некотором специальном пространстве тензоров с определенными свойствами симметрии. Но геометрами с течением времени выделялись новые классы почти контактных метрических структур, поэтому более прозрачным решением проблемы их систематизации стала вышедшая в 2003 году работа В.Ф. Кириченко [12]. В этой работе автор предложил «контактный» аналог классификации Грея-Хервеллы для почти контактных метрических структур и получил удобный аналитический критерий принадлежности структуры соответствующему классу. В.Ф. Кириченко определил число таких классов, которое оказалось практически необозримым (21,=2048; внутри классов естественным образом можно определять подклассы).
Достаточно полный обзор изучаемых в настоящее время структур в контактной геометрии и полученные результаты в этой области приведены в

§1.4. Вычисление некоторых классических тензоров LCQS-многообразий на пространстве присоединенной G-структуры.
Тензор Римана-Кристоффеля.
Рассмотрим вторую группу структурных уравнений связности рима-нова многообразия [15]:
dco'j = со{ л coj + ^R'jklcok л со1, (1-4.1)
где |Яд/} - компоненты тензора Римана-Кристоффеля. Хорошо известно [1], что эти компоненты обладают следующими свойствами симметрии:
Rjki =-Rßki’
Rijkl = ~ ijlk ’
Rijkl =Rklij’
Rljkl + RiUj + Riljk = 0 - тождество Риччи.
Вычислим компоненты тензора Римана-Кристоффеля на пространстве присоединенной G-структуры.
1) Распишем уравнения (1.4.1) для компоненты dcoab:
dcoab = со" л сось + 4 А 4 + 4 л 4 л с°!-
Согласно тождествам (1.3.5)
dco; = со" А 4 + {<7асо - (в* + с; )со8} А {-сгьсо + (внь - С*)й>А} +
+BaCsBcbhCOS A (Oh + А Ы + RabghCOS а ЮИ +
+Гь}н4 Aû)h +R°bSoû>S A откуда получим
dcùl = со" АС0сь + ^RabSh(°S АС0 + 2RbghC°g ACOh +
+ B“* B«-к+ cê ж ■ с‘)1+
+1 - <Т, ( к + с; )| »': л и + {/£0 - а* ( tf? - С,? )} ю, л w.