Локально транзитивные аффинные и проективные действия в малых размерностях

• Автор: Можей, Наталья Павловна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Минск
• Количество страниц: 107 с.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Глава 1. КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
Глава 2. ЛОКАЛЬНО ТРАНЗИТИВНЫЕ ПОДАЛГЕБРЫ АЛГЕБР ЛИ ТРЕХМЕРНОГО АФФИННОГО И ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВ. ОРБИТАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
2.1. Описание локально транзитивных аффинных действий на К3
2.2. Описание локально транзитивных проективных действий на КР3
Глава 3. ОДНОРОДНЫЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ
ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
3.1. Теоретическое обоснование методики классификации
3.2. Гиперповерхности в проективной геометрии
3.3. Двумерные однородные подмногооборазия
3.4. Одномерные однородные подмногооборазия
Глава 4. ОДНОРОДНЫЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ
АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ
4.1. Гиперповерхности в аффинной геометрии
4.2. Двумерные однородные подмногообразия
4.3. Одномерные однородные подмногообразия
4.4. Однородные подмногообразия в четырехмерной эквиаффинной геометрии
4.5. Анализ результатов главы
Глава 5. ОПЕРАТОРЫ ФОРМЫ ТРЕХМЕРНЫХ ОДНОРОДНЫХ
ПОДМНОГООБРАЗИЙ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ ЭКВИАФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ
5.1. Основные понятия теории поверхностей в аффинной дифференциальной
геометрии
5.2. Аффинные связности на однородном пространстве
5.3. Аффинные вложения однородных пространств
ВЫВОДЫ
Библиография

ВВЕДЕНИЕ
В конце прошлого века норвежский математик Софус Ли создал теорию “непрерывных групп преобразований”, которая позднее стала называться теорией групп Ли. В своих исследованиях Софус Ли отталкивался от понятия действия группы Ли. Он выделил класс транзитивных групп преобразований как класс объектов, которые могут быть изучены конструктивно, так как любая проблема, относящаяся к однородным пространствам, может быть разрешена в явном виде и сведена к классификационной задаче. Софус Ли поставил проблему классификации транзитивных действий и решил ее для малых размерностей (эта проблема, понятно, локально, эквивалентна классификации (с точностью до сопряженности) подалгебр алгебр Ли). Однако, значительная часть работ Софуса Ли так и не была понята его современниками. Это было обусловлено громоздкостью веете сопутствующих вычислений, и отсутствием ясных геометрических построений: в большинстве работ Софуса Ли превалируют аналитические методы. Использование этого материала в математике и физике сводилось в основном к симметрическим пространствам, впервые введенным Эли Картаном. Даже в размерностях 3 и 4, особенно важных для физики, специалистам из других областей иногда приходилось проводить все описания требуемых пространств самим.
В данной работе исследуются только аффинные и проективные действия, наиболее часто встречаюшиеся в разного рода приложениях. Проводится полная классификация локально транзитивных подалгебр алгебры Ли трехмерного аффинного и проективного пространств, отдельно выделены алгебры, имеющие конечное число орбит и их орбитальные разложения. В работе, используя аппарат групп и алгебр Ли, классифицируются локально однородные подмногообразия в четырехмерной аффинной и проективной геометрии, алгебры симметрий которых имеют размерность, большую размерности подмногообразия, отдельно выделяются подмногообразия с локально транзитивными алгебрами симметрий, а также найходятся операторы формы для локально однородных гиперповерхностей в четырехмерной эквиаффинной геометрии.
Проблема описания подмногообразий в аффинной (проективной) геометрии была поставлена еще в начале века, в дальнейшем были классифицированы различные специальные классы подмногообразий. Безусловно, наиболее интересным случаем, как с математической точки зрения, так и с физической, является однородный случай. Большинство физических моделей являются однородными, и это условие часто
является априорным, большинство пространств, появляющихся в различных разделах математики, тесно связанных с приложениями, также являются однородными. Условие однородности является принципиальным и с математической точки зрения, оно позволяет свести задачу к чисто алгебраической, позволяет применить технику теории групп и алгебр Ли, с помощью которой задачу описания однородных пространств можно свести по сути к линейной алгебре.
Теория Софуса Ли создавалась как аналог теории Галуа для дифференциальных уравнений, однако в дальнейшем стали ясны тесные связи этой теории с другими разделами математики (особенно с геометрией), а также с теоретической физикой. В частности, после работ Эли Картана теория групп Ли стала основной составляющей современной дифференциальной геометрии. Вся теория геометрических объектов полностью сводится к теории транзитивных представлений групп Ли.
В диссертации предпринят систематический подход к исследованию однородных пространств в аффинной и проективной геометрии в размерностях 3 и 4, описаны все локально транзитивные аффинные и проективные действия на трехмерном пространстве. Все методы исследований могут быть использованы для случая произвольной размерности. Отметим, что ранее имелись лишь частичные результаты, были описаны некоторые специальные классы подмногообразий, полная их классификация практически не рассматривалась.
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Б.П. Комракову за формулировку задачи, полезные замечания и поддержку при выполнении данной работы.

Доказательство. Из теории полупростых алгебр Ли следует (см., например [16]), что все полупростые подалгебры вя1(4, Е) (с точностью до сопряженности) имеют вид
х у и

X у -х і У і
-х+у д / г -у+г к
Зх 3у -г х 2 у -2г -х у
(последние 5 появляются только над полем Е).
Для каждой полупростой подалгебры о С в1(4, Е) найдем (с точностью до сопряженности) все 5, такие что а является подалгеброй Леви алгебры 0.
Подалгебра 51(4, Е) является а — модулем (относительно присоединенного представления). Она разлагается в прямую сумму изотипных компонент
*1(4, Е) = а ф 5х Ф ф Я
Если д — неразрешимая подалгебра, то 0 является прямой суммой своих пересечений с изотипными компонентами.
0 = о © 0 Л 5,
Таким образом, чтобы найти 0, находим в 5* все подмодули о — модуля 5<, составляем их суммы и проверяем, когда в результате получается подалгебра. □
Классифицируем разрешимые подалгебры в з1(4, Е), не имеющие трехмерных инвариантных подпространств.
Теорема 2.9. Любая локально транзитивная разрешимая подалгебра I) проективной алгебры Ли з1(4, Е), не имеющая трехмерных инвариантных подпространств, с точностью локального подобия имеет один и только один из следующих видов
-хх г г —х и V х у
Хх ух у г
—цх Хх 1 и
—Хх X
—X -Аж
-х X у
-х Ху г і —Ху —х —Ь г х у
—Хи V) х у -ш -Хи -у х
(2Х-у)х і
Хи+ць V} х у
-(А+2)«-м г і