Биаксиально-флаговые и биаффинно-флаговые пространства

• Автор: Ромакина, Людмила Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Рязань
• Количество страниц: 146 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Квазисферы и квадрики равных наклонов в биаксиально-флаговых пространствах.
§ 1. Биаксиально-флаговые пространства эллиптического и
гиперболического типов
§ 2. Квазисферы
§ 3. Квадрики равных наклонов
Глава II. Теория кривых и поверхностей биаффинно-флаговых и биаксиально-флаговых пространств.
§ 1. Кривые в биаффинно-флаговом пространстве
гиперболического типа
§ 2. Кривые в биаксиально-флаговых пространствах
§ 3. Поверхности в биаксиально-флаговых пространствах
Глава III. Линейчатая геометрия биаксиально-флаговых пространств.
§ 1. Регулюсы в биаксиально-флаговых пространствах
§ 2. Конгруэнции биаксиально-флаговых пространств
§ 3. Комплексы прямых в биаксиально-флаговых
пространствах
Литература

ВВЕДЕНИЕ
1. Актуальность темы
Открытие Н.И.Лобачевским [32, 33] неевклидовой геометрии и Б.Риманом [37] эллиптического многомерного пространства положило начало изучению пространств с проективной метрикой. В 1872 году Ф.Клейн [26] сформулировал новую точку зрения на геометрию, как совокупность инвариантов групп преобразований и, опираясь на исследования А.Кэли [31], дал общую схему построения проективных метрик [27]. В 1910 году Д.М.Ю.Соммервиль строит полную классификацию проективных метрик [42]. В зависимости от различных вариантов метрик на прямой и в пучках плоскостей всех размерностей, каждая из которых может быть эллиптической, гиперболической и параболической, Соммервиль получает в п -мерном пространстве 3" метрик.
Развитие учения о пространствах с проективной метрикой в последующие года имело частный характер. В 1911 году Бляшке [6] рассмотрел частный случай пространств с проективной метрикой -трехмерное квазиэллиптическое пространство, в 1913 и 1915 годах Г.Бек [4] и Ф.Бем [5] изучали двумерную флаговую плоскость. В 1925-1927 годах появились работы Л.Зильберштейна [17], С.Гласса [10] и А.П.Котельникова [30], посвященные галилееву пространству, при помощи которого строится геометрическая интерпретация пространства-времени классической механики Галилея-Ньютона, а в 1941-1949 годах - работы Штрубеккера [50], посвященные вопросам дифференциальной геометрии трехмерного изотропного пространства.
Учение о пространствах с проективной метрикой получило широкое развитие в работах Б.А.Розенфельда [38], [39], [40] и других

геометров [21], изучавших пространства с "общей" проективной метрикой, абсолюты которых получаются из абсолютов классических неевклидовых пространств с помощью многократных предельных переходов. Получило также развитие изучение пространств над различными алгебрами [9], [40] и полями [3].
Как обобщение пространств с "общей" проективной метрикой Г.В.Киотиной [21] вводятся пространства с "обобщенной" проективной метрикой. Это проективные п -пространства, в каждом пучке т -плоскостей которых определено эллиптическое, гиперболическое или параболическое измерение углов между т -плоскостями одного вида при данном т, при т-0 - расстояний между точками. Среди этих пространств рассматриваются и такие, подвижность которых ниже подвижности классических неевклидовых пространств, им посвящены работы [13], [14-16], [34], [41], [21-25].
Пространствами с "обобщенной" проективной метрикой и подвижностью на единицу ниже подвижности классических неевклидовых пространств являются биаксиально-флаговые /С, Б* и биафин-но-флаговые Б°, Б‘ пространства эллиптического и гиперболического типов.
Эти пространства возникают в связи с вещественной реализацией двойной бифлаговой [20] плоскости. Связные группы вращений пространств Бэ4, Б4 изоморфны соответственно группам матриц следующего вида
г а, а2 о гал Ьг аг V
а. -к аг К а Ь2 а2
0 0 а3 К 0 0 аъ к
1 0 0 -к 0 К
которые получены из группы матриц, изоморфной группе движений бифлаговой плоскости при ее рассмотрении над алгебрами ком-

а, Д 0 (Г Д о о
-Да, 0 0 а
а2 Д а, Л2 К «3 Ъъ
с, с2 -Д Д. с К аз;
= 2(Д +Д)-Д, где С, = А -2 (Д+Д)
= 2(а3 -а,) + а2, С2 = = д + 2(а -А,
+ Д2 -1. а2- А2 = 1

Координатный репер /Г(Д), / = 1,2,3,4. пространства Д (Д) в этом случае обладает следующими инвариантными относительно группы О3 (Сг) свойствами:
1. Вершины Д, Д гармонически сопряжены относительно абсолютных плоскостей Д, Д2.
2. Пара вершин Д, Д гармонически делит пару абсолютных точек Д, Д.
3. Прямая абсолютной конгруэнции, проходящая через вершину Д (Д) репера /Г, принадлежит плоскости ДДД (ДДД).
4 (Э). Точки Еп — Д + Д, Д2 = Д — Д репера й!* пространства Д гармонически сопряжены относительно абсолютных плоскостей.
4 (Г). Точки Еп =Д +Д, Д2 = Д — Д репера /Г пространства Д принадлежат абсолютным плоскостям Д, Д2 соответственно.
Каноническим репером пространства Д (Д) будем называть репер, который движениями этого пространства может быть преобразован в координатный.