Метрические пространства без сопряженных точек

• Автор: Лебедева, Нина Дмитриевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 74 с.

ф СОДЕРЖАНИЕ

Содержание
Введение
1 Компактные пространства без сопряжённых точек.
1.1 Внутренние метрики
1.2 Пространства без сопряжённых точек
1.3 Общие свойства действия фундаментальной группы на универсальном накрывающем компактного пространства без
^ сопряжённых точек
1.4 Метрики на группе и метрики слов
1.5 Объёмная энтропия и метрика слов на фундаментальной
группе
1.6 Норма на абелевой подгруппе фундаментальной группы и
её продолжение на Кп
2 Теорема об абелевой подгруппе фундаментальной группы.
3 Полиэдральные пространства.
4 Касательное пространство и геодезические.
4.1 Геодезические
• 4.2 Касательное пространство
4.3 Продолжимость геодезических
5 Мера Лиувилля.
5.1 Формула для вычисления меры Лиувилля
5.2 Инвариантность относительно геодезического потока
5.3 Мера множества с кратностью и её инвариантность
5.4 Геодезические общего положения
6 Геодезический поток. Класс мер, инвариантных относительно геодезического потока.
7 Обобщение теоремы о возвращении.

СОДЕРЖАНИЕ
8 Теорема про тройные склейки и объёмную энтропию.
8.1 Обозначения
8.2 Специальное множество
8.3 Специальная мера
8.4 Оценка меры множества геодезических
8.5 Множество часто ветвящихся геодезических
8.6 Окончание доказательства теоремы
9 Теорема о полиномиальном росте. Теорема о полиэдральных пространствах с нильпотентной фундаментальной группой.
9.1 Гомотопический тип М
9.2 Построение локальной изометрии
9.3 Доказательство изометричности
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Введение
Настоящая диссертация посвящена исследованию компактных пространств без сопряжённых точек. Риманово многообразие не имеет сопряжённых точек, если ненулевое поле Якоби вдоль любой геодезической обращается в нуль не более одного раза. Для полного многообразия это условие эквивалентно тому, что экспоненциальное отображение невырождено в любой точке. Из теоремы Адамара ([16]) следует, что полное риманово многообразие не имеет сопряжённых точек тогда и только тогда, когда любые две точки в его универсальном накрывающем пространстве соединимы единственной геодезической. Это условие естественно принять за определение отсутствия сопряжённых точек для произвольного пространства с внутренней метрикой. С. Александер и Р. Бишоп ввели понятие сопряжённых точек ([1]) для случая пространств ограниченной сверху кривизны по Александрову и доказали теорему Картана-Адамара для случая неположительной кривизны. В работах [12], [15], [24], [21] исследовались римановы многообразия без сопряжённых точек.
Важным примером пространств без сопряжённых точек являются пространства неположительной кривизны по Александрову, в частности римановы многообразия неположительной секционной кривизны. В отличие от неположительности кривизны отсутствие сопряжённых точек является динамическим свойством, так показано ([13]), что если два многообразия имеют сопряжённые геодезические потоки, то отсутствие сопряжённых точек на одном из них равносильно отсутствию сопряжённых точек на другом.
Как примеры пространств неположительной кривизны, не являющихся многообразиями, часто рассматриваются полиэдральные пространства ([6]). Под полиэдральным пространством мы будем иметь ввиду пространство с внутренней метрикой, которое можно получить склейкой симплексов с римановыми метриками по изометриям между их граничными симплексами. Некоторые результаты данной работы получены для самых общих пространств без сопряжённых точек, а некоторые для случая полиэдральных пространств.
Известной задачей, послужившей развитию области, была гипотеза Хопфа: всякая риманова метрика без сопряжённых точек на п-мерном торе является плоской. Гипотеза для случая п = 2 впервые была сфор-
5 МЕРА ЛИУВИЛЛЯ.

Лемма 5.8. Пусть А = {7 : [а, Ь] —» М} - множество геодезических общего положения, подчиняющихся некоторой однозначной функции перехода р. Тогда ^ДЛ'(а)) = рДА'(Ь)).
Доказательство. Действительно, можно разбить множество А на счётное число подмножеств А{, в каждом из которых геодезические имеют один комбинаторный тип. Так геодезические, подчиняющихся однозначной функции перехода однозначЕЮ определяются своим вектором скорости в начальной точке, то дДЛ'(а)) = дДЛ'(а)) и рДА'ф)) = Ть{А[(Ьа)). Поэтому для доказательства леммы достаточно применить к каждому множеству Л; предложение 5.2. □
Лемма 5.9. Пусть И — некоторый (п — 1 )-мерный симплекс.
Пусть А = {7 : [0, £7] —> М} - множество геодезических общего положения на интервале [0Д7), подчиняющихся некоторой однозначной функции перехода р и пересекающих Р конечное число раз. Пусть Ь > 0. Пусть, при этом для всех 7 € Л
1) Ц < Ь,
2) точки 7(£7) лежат строго внутри симплекса Р,
3) вектора 7,(£г) составляют с гранью Т1 угол, меньший е.
Тогда
Рь(А'(0)) < сопз^М) ■ Ь ■ е
Доказательство. Для каждого т £ N обозначим через Лш множество всех таких геодезических 7 £ Л, что 7 не пересекает (п— 1)-мерный остов на интервале (Ц — Ь/тДу).
Разобьём множество Ат на т подмножеств АД следую1цим образом:

Для всех г £ {0,... , т} справедливо равенство:
Ы(4тМ) = /1*((лп'(£)),
поэтому достаточно оценить меру Лиувилля множества (АД)’(^). Геодезические каждого из подмножеств АД не пересекают (п — 1)-мерный остов на интервале [77; ^7); тогда, разбивая, если необходимо, множество АД на подмножества, можно считать, что все точки АД(/Д) принадлежат некоторому симплексу А" и применить лемму 5.1 к множеству {7|[^,ц]|7 £ АД}- Получим оценку для меры множества Л^(^):