Конциркулярная геометрия приближенно келеровых многообразий

• Автор: Власова, Людмила Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 87 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Пространства Фиалкова
§1. Существование конциркулярных преобразований
§2. Примеры
§3. Некоторые свойства конциркулярных преобразований
метрики в римановых многообразиях
Глава II. Основные классы почти эрмитовых многообразий
и их структурные уравнения
§1. Предварительные сведения
§2. Конциркулярные преобразования метрики в почти эрмитовых многообразиях
§3. Gi-многообразия и их структурные уравнения
§4. Основные классы почти эрмитовых многообразий
Глава III. Конциркулярно приближенно кеяеровы многообразия
§1. Класс конциркулярно приближенно келеровых многообразий
§2. Примеры
Глава IV. Тождества кривизны для ZlVA'-многообразий
Глава V. ZAA'-многообразия V-постоянного типа
Глава VI. ZlVK-многообразия постоянной ТГА-кривизны
§1. Свойства секционной кривизны римановых многообразий ..
§2. Свойства голоморфной секционной кривизны почти эрмитовых многообразий
§3. Gi-многообразия точечно постоянной голоморфной секционной кривизны
§4. Постоянство Л5-кривизны ^ЛТС-многообразий
Глава VII. Конформно-плоские ^ЛТА-многообразия
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Изучение конформно-инвариантных свойств римановых многообразий, в том числе и наделенных дополнительной структурой, является одной из наиболее актуальных задач современной дифференциальной геометрии. В частности, сюда относится изучение конформно-инвариантных свойств почти эрмитовых многообразий, проведенное в работе А.Грея и Л.Хервеллы [4]. Хорошо известно, что конформное преобразование метрики сохраняет геодезические (т.е. переводит геодезические в геодезические) тогда и только тогда, когда оно тривиально, т.е. является гомотетией. Существуют, однако, нетривиальные конформные преобразования, сохраняющие геодезические окружности (т.е. кривые, у которых первая кривизна постоянна, а остальные кривизны равны нулю). Они называются конциркулярными преобразованиями. Их изучение и является предметом настоящей работы. Простейшими примерами пространств, допускающих конциркулярные преобразования метрики, являются пространства постоянной кривизны.
Начало изучению конциркулярных преобразований было положено К.Яно [6]. В дальнейшем конциркулярные преобразования и их приложения в физике привлекли внимание многих исследователей. Отметим работы А.Фиалкова [7], Н.С.Синюкова [8], С.Г.Лейко [27], [33]. Тем не менее геометрические свойства конциркулярных преобразований изучены пока недостаточно. К.Яно вывел дифференциальные уравнения, которым должна удовлетворять функция, определяющая кон-циркулярное преобразование в римановом пространстве [6]. В связи с этим встала задача: описать все римановы многообразия, допускающие конциркулярные преобразования метрики. К.Яно ввел в рассмотрение тензор Жконциркулярной кривизны [6], являющийся инва-
риантом конциркулярных преобразований, и доказал, что риманово пространство конциркулярно- плоско тогда и только тогда, когда тензор Ж тождественно равен нулю, что равносильно постоянству кривизны многообразия. В частности, отсюда получаем, что пространства постоянной кривизны допускают конциркулярные преобразования. В качестве следствий К.Яно получил, что эйнштейновость рима-нова многообразия и постоянство кривизны являются конциркулярно инвариантными свойствами.
В последние годы наиболее интенсивно специалистами по эрмитовой геометрии изучались локально конформно келеровы многообразия, т.е. такие почти эрмитовы многообразия, которые конформным преобразованием метрики переводятся в келеровы многообразия. Эти многообразия входят в конформно-инвариантный класс почти эрмитовых многообразий, согласно классификации Грея-Хервеллы [4]. Примерами многообразий класса Н4 служат многообразие Хопфа и конформные образы комплексного евклидова пространства. Особенно большой вклад в изучение локально конформно келеровых многообразий внесли Вайсман [2], [22], Грей и Ванхекке [34], В.Ф.Кириченко [3],
[35]. Также большое внимание геометров привлекали приближенно келеровы многообразия, составляющие класс [4]. Здесь наиболее существенные результаты были получены А.Греем [19], [20] и В.Ф.Кириченко [13], [14], [29], [31], [36]. Отметим, что конформные преобразо- у вания метрики приближенно келерова многообразия выводят его за пределы класса приближенно келеровых многообразий. Естественным расширением этих двух классов явились многообразия Вайсмана-Грея [5], образующие конформно-инвариантный класс [4], содержа-
щий локально конформно приближенно келеровы многообразия. Многообразия Вайсмана-Грея изучались В.Ф.Кириченко, Н.А.Ежовой,

+jBbbdwd A ujh + Bbbdu)h A codJ + dBabc Л uib A cjc + _Вй6с (—Л w/,+
Л a/' + Bbbdujh A uid) Ашс- Babcu>b A (—Wp Лш/, + В^из^ A ud--+BcdhLJdAujh) =0. (2.27)
Обозначим:
ABabc = dBahc - Bhbcioah - BahcJh + В“6лс^;
ДВайс = dBabc - ВМсш£ - Bahcubh - £а6Лс4;
Д^а = du;? - w“ Л u;6c - 2BadhBhbccoc Au>d — BahcBdbhoüc A ud+
BBbhcBdahuc A iüd. (2.28)
Тогда (2.27) примет вид:
Дез? ЛшЧ ДВа6с ЛисЛц + ДВа6с Л шь А шс+
+Bah dBbbujb A ujd A loc + BahhBdchuJb A LOd A wc+
+ (.BhadBhbc - BadhBchb) ub AuicAu)d = 0. (2.29)
Локальный кобазис модуля X(P), где P — пространство присоединенной G-структуры, т.е. многообразие А-реперов, образуют формы оА, и)а и шь. Тогда базис модуля 2-форм на пространстве присоединенной G-структуры образуют формы:
u^Awf, соьа Ашс, и:ьа Ашс, и>ь А шс, шь А шс, uibAu)c
(при соответствующих ограничениях на значения индексов). Следовательно, существуют локально определенные на пространстве присоединенной G-структуры функции, что выполняются следующие соотношения: