Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на группе SL(2, C)

• Автор: Платонов, Сергей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 122 c. : ил

§1. О структуре модулей Харш-Чандрн над полупростой

алгеброй Ли

§2. О модулях Хариш-Чандры над &£(*£)

§3. Формулировка основной задачи и сведение ее к

пространству гладких Функции

§4. Переход к пространствам

§5. Решение вспомогательной задачи

§(?. Вычисление опетторор , у/'>м>, бм) та

§7. Структура элементарных ячеек инвариантных

подпространств

§8. Доказательство теорем 3

Литература
Общий тип задач, частные случаи которых рассматривался в данной работе, следующий: пусть (т -группа Ли и /л -некоторое топологическое векторное пространство, состоящее из функций на группе (у и инвариантное относительно левых и правых сдвигов. Описать в Ц все замкнутые подпространства И , инвариантные относительно правых и левых сдвигов (для краткости будем называть такие подпространства бишвариантными). Большое количество работ посвящено решению этой задачи в случае, когда -группа действительных
чисел, или когда группа Сг компактна.
Из некоммутативных и некомпактных группрассматривал-ся только случай & 'БСС2-, . В работе [_2~]
Эренпрейс и Маутнер описывали биинвариантнне подпространства на группе ) для некоторых функциональных пространств, состоящих из обычных или обобщенных Функций. При этом использовался явный вид преобразования Фурье на группе БАХ) и биинвариантнне подпространства описывались нулями преобразования Фурье.
Для других функциональных пространств на группе (3-,№) биинвариантные подпространства описывал П.К.Рашевский в работе . При этом использовались совершенно другие методы, основным моментом которых являлось сведение задачи к задаче об описании замкнутых подпространств в некотором пространстве функций на , инвариантных относительно обобщенного сдвига ^ (£{х+а)-1- £{х-а))
В настоящей работе описываются бшшварпантные подпространства в пространствах 1^ (опр,см,нпже^) на группе
(? - 51(2, С) , Эта задана во многом аналогична задаче П.К.Рашевского и при ее решении автор руководствовался работой [17,По сравнению о[х] возникло много принципиальных" трудностей,связанных в основном с тем, что максимальная компактная подгруппа в некоммутативна.
Перейдем к более подробной Формулировке результатов работы.
Снабдим элементы группы (г -51,(2, С) "абсолютным значением"
1$1 - ( 2 ^ (? Пусть пространство А*к состоит из всех измеримых функции ^ , для которых
л/р,*({) - (.
Здесь -элемент бпинвариантыой меры, интеграл берется по всей группе О' , функции отличающиеся на множестве меры 0 считаются равными,
А^к с нормой А/р'К является банаховым простран-отвом. Пусть АС ~ [А 1АК снабжается топологией
к>° Р
индуктивного предела банаховых пространств
Основная задача: описать в А* (^А) все замкнутые подпространства, инвариантные относительно левых и правых сдвигов.
Пусть, банахово пространство Ск состоит из всех непрерывных Функций № на 5Ц2,С) , для которых

Предложение 4.4 дс-ли замкнутое подпространство У ^ удовлетворяет условию (а.9) , то в АУ существует плотное множество, состоящее из (Функции (5 , Есе матричные
элементы которых удовлетворяют условиям 1-3 предложения 3.3.
доказательство. По предложению 4.2 и лемме 4
для некоторого левоинвариантного подпространства // . По предложению 3.3 в Н существует плотное множество Функций удовлетворяющих условиям 1-3 . Если ^ удовлетворяет условиям 1 - 3, то
Чр $ ) ({) = ^ очевидно;- удовлетворяет условиям 1, 2 и, по лемме 4.3, матричные элементы Функции А яеляются аналитическими векторами
§■5. Решение вспомогательной задачи.
Пусть С - арифметическое двумерное векторное пространство над полем комплексных чисел С . Обозначим через к/* пространство всевозможных измеримых Функций ^(х) = (рСу ( (к) ) вещественного аргумента, принимающих значения в (Г2 и удовлетворяющих условиям:
Т*. х) = ^6с) - четность; (ъ. I)
2е. для каждой Функции ^ найдется такое к > о , что
/ ; (5.2) где /Дк)/2 = ё/Х)/2* ,
1Л = и кА * где 1яЛс - пространство Функций
к>°
удовлетворяющих (5.2 ) при данном значении К Ц, можно считать банаховым пространством с нормой /1Щ)- (5^5.3)