Дзета-функции монодромии и диаграммы Ньютона

• Автор: Гусев, Глеб Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 59 с. : ил.

Оглавление
1 Введение
2 Торическая геометрия и алгебраические инварианты
2.1 Дзета-функции и интегрирование по эйлеровой характеристике
2.1.1 Локальные дзета-функции
2.1.2 Глобальные дзета-функции
2.1.3 Формула А’Кампо и принцип локализации
2.2 Торические разрешения и компактификации
2.2.1 Вееры и торические многообразия
2.2.2 Диаграммы и многогранники Ньютона, достаточно
мелкие вееры и разрешения
2.3 Инварианты и диаграммы Ньютона
2.3.1 Эйлерова характеристика полного пересечения
2.3.2 Формулы для дзета-функций ростков
2.3.3 Формулы для дзета-функций многочленов
3 Дзета-функция деформации ростка
3.1 Формула типа Варченко
3.2 Формула типа А’Кампо
3.3 Доказательство теоремы
3.4 Дзета-функция деформации ростка полного пересечения .
4 Многообразия бифуркаций многочлена одной переменной
4.1 Случай многочлена степени два
4.1.1 Комбинаторно-геометрические следствия
4.2 Случай многочлена степени три
5 Дзета-функция многочлена на полном пересечении
5.1 Дзета-функция полиномиальной деформации

5.1.1 Формулы для дзета-функций деформации
5.1.2 Доказательство теорем
Дзета-функция многочлена на полном пересечении
Глава
Введение
Моему папе, Геннадию Гусеву
Диссертация посвящена вычислению дзета-функций монодромий некоторых аналитических и алгебраических функций и их деформаций в терминах многогранников Ньютона. Задача вычисления топологических инвариантов алгебраических многообразий или ростков аналитических пространств в терминах многогранников Ньютона определяющих их уравнений была поставлена В. И. Арнольдом в начале 70-ых годов. Она была мотивирована тем фактом, что для уравнений общего положения с фиксированными многогранниками Ньютона дискретные инварианты множества решений одинаковы и зависят только от многогранников
Первый общий результат в этом направлении был получен А. Кушни-ренко. Он был развит в работах А. Хованского, Д. Бернштейна и других. Кроме того, А. Хованский предложил наиболее эффективный подход к решению таких задач с использованием торических разрешений, связанных с многогранниками Ньютона. Первая формула для дзета-функции монодромии ростка аналитической функции в терминах его диаграммы Ньютона была получена А. Варченко в 1976 г. Она была обобщена в нескольких направлениях. М. Ока получил ее аналог для некоторых полных пересечений. С. М. Гусейн-Заде, И. Луенго и А. Мелле-Эрнандес определили дзета-функцию монодромии ростка мероморфной функции и получили формулу, выражающую эту дзета-функцию в терминах диаграмм Ньютона ростков числителя и знаменателя.
Известны также некоторые «глобальные» аналоги перечисленных результатов. Так, для многочлена Лорана на комплексном торе получена формула, выражающая его дзета-функцию на бесконечности в терминах его многогранника Ньютона (А. Либгобер, С. Спербер, 1995).

Глава 3. Дзета-функция деформации ростка
Теорема 9 Пусть разрешение тт является изоморфизмом вне множества 7Г-1((У П 5). Тогда
0і,ст!спу (^) / (>£|ил2,х(^) ’

где IV — собственный прообраз множества нулей {Р) = = ... = і*/
0} (т. е. замыкание множества 7г_1(У), где V = (({Г = 0} П £/) Б)), Е = а о 7Г, 2 = 7Г_1(ССТ х У).

Пример. Рассмотрим набор ростков функций Р0, Д,..., Т на (Сп+1,0) вида
Р0(<7, г) = /о(г) - <7, Р)(ет, г) = /і(г), » = 1,2,...,*, (3.8)
где /і — ростки функций на (Сп,0).
Утверждение. Для системы ростков /о, /і, ..., Д, невырожденной относительно своих диаграмм Ньютона, система ростков Но, Р),..., Р* также невырождена относительно своих диаграмм Ньютона.
Доказательство Утверждения аналогично доказательству Предложения 16 (см. с. 54). Легко видеть, что Сл.Лс-ОО = С/0|у(*)> гДе ^ = (А = /2 = ... = Д = 0} С (Сп,0) — росток множества нулей. Таким образом, имеет место следующее утверждение.
Теорема 10 Для системы ростков /о, А, • • ■, Д невырожденной относительно своих диаграмм Ньютона дзета-функцию ростка /0 на ростке множества V можно найти по формуле:
С/о|у(*) = П (3-9)
Т: 0є/С{0,1,...,п}
где р) задаются формулами (3.8).
Тот факт, что в «удобном» случае формула (3.9) эквивалентна формуле Ока (см. Теорему 4), не очевиден: нам не известно комбинаторногеометрическое доказательство возникающих тождеств. Однако для их выполнения условие «удобства» не обязательно (см. Предложение 17), и в силу этого обстоятельства получаем
Предложение 14 Утверждение Теоремы 4 (Ока) останется верным, если отказаться от условия «удобства»: