Новые аспекты геометрии многообразий Вайсмана-Грея

• Автор: Игнаточкина, Лия Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 94 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Многообразия Вайсмана-Грея
§ 1. Почти эрмитовы многообразия и их присоединенная О-структура
§ 2. Структуры Вайсмана-Грея
§ 3. Основные конформные инварианты многообразий Вайсмана-Грея
Глава 2. Конформно-инвариантные классы многообразий Вайсмана-Грея
§ 4. Ковариантный дифференциал формы Ли
§ 5. Многообразия Вайсмана-Грея с /-инвариантным
тензором Вейля
Глава 3. Конформно-плоские и конформно-паракелеровы многообразия Вайсмана-Грея
§ 6. Конформно-плоские и конформно-паракелеровы приближенно келеровы многообразия
§ 7. Конформно-плоские и конформно-паракелеровы многообразия Вайсмана-Грея
Глава 4. Многообразия Вайсмана-Грея с точной формой Ли
§ 8. Конформные преобразования, определяемые формой Ли
§ 9. Метод совместного изучения сЛ^К-многообразия и соответствующего ему приближенно келерова многообразия
§ 10. сТУА'-многообразия точечно постоянной голоморфной
секционной кривизны
Литература

Введение
Изучение конформно-инвариантных свойств римановых многообразий, в том числе и наделенных дополнительной структурой, занимает важное место в современных дифференциально-геометрических исследованиях. В частности, сюда можно отнести изучение конформно-инвариантных свойств почти эрмитовых многообразий, начатое в работе А. Грея и Л. Хервеллы [32].
В [32] авторы провели классификацию почти эрмитовых многообразий {М2п^,д} по их дифференциально-геометрическим инвариантам первого порядка. А именно, в касательном пространстве каждой точки почти эрмитова многообразия было рассмотрено подпространство IV тензоров типа (3,0), обладающих следующими свойствами симметрии:
IV = {а е Т3° (Тт(М)) а(Х, У, У) = -а(Х, Z, У) = -а(Х, Ж, JZ)
х,у,ге тт(м)}
Этими свойствами обладает, в частности, ковариантный дифференциал келеровой формы почти эрмитова многообразия. Представление унитарной группы и(п) на таком подпространстве имеет четыре неприводимые компоненты IV!, ТУг, Нз и Ш4 и пространство У распадается в ортогональную прямую сумму этих подпространств:
Таким образом, представление унитарной группы имеет 16 инвариантных подпространств (включая {0} и }У). Принадлежность ковариантно-го дифференциала келеровой формы в каждой точке одному из этих подпространств определяет 16 классов почти эрмитовых многообразий, которые обозначаются теми же символами, что и инвариантные подпрост-

Обратно, как было отмечено выше для любой АХ-структуры Ащ = 0.

Перейдем к рассмотрению структурных тензоров первого и второго рода ЛХ-структур. Так как в силу [7] ВаШ = Ваьы — 0> имеем
то есть структурные тензоры первого и второго рода АХ-структуры ковариантно постоянны в присоединенной связности.
Лемма 2.1. Пусть 5 = {/,д — {-,-)} - АХ-структура. Тогда В = ВаЬсВа})С - неотрицательная константа. При этом В = 0 тогда и только тогда, когда 5 - келерова структура.
Доказательство. Согласно определению и (1.6),
В = ВаЬсВаЬс = Т,аЬсВаЬс2 > 0, Причем В = 0 ВаЬс = ВаЬс = 0.
Остается напомнить, что структурные тензоры первого и второго рода ЛХ-структуры - нулевые тогда и только тогда, когда эта структура является келеровой (см. табл.1, с. 30). Наконец, дифференцируя тождество ВаЪеВаьс — В внешним образом, с учетом (2.13) получаем, что dB = 0, и значит, В = const. □
Стандартная процедура дифференциального продолжения второй группы структурных уравнений ЛХ-структуры позволяет получить так называемое второе фундаментальное тождество:
1) dBa6c - Bdbcu)ad - BadcLobd - Вми% =
2) dBabc + BdbcLOda + Badcfjlfj + Bab(pjf = 0,
(2.13)
2 Bac9 Bgi[dBhf]c + A^dBhf]c — 0.
Его преобразования дают следующее тождество:
Ааа)Вф - Aa:gBfdc = 4BahcBahdBgfc
(2.14)