О некоторых комбинаторных инвариантах узлов и зацеплений

• Автор: Карев, Максим Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 51 с. : ил.

Оглавление
1 Введение
1.1 История вопроса
1.2 Основные разультаты
1.3 Краткое описание диссертации
1.4 Благодарности
2 Различение ориентации двукомпонентных струнных зацеплений с помощью инвариантов конечного типа
2.1 Предварительные сведения
2.2 Сведение к хордовым диаграммам
2.3 Первое доказательство теоремы
2.4 Сведение к диаграммам Якоби
2.5 Второе доказательство теоремы
2.6 Переход к неоснащенному случаю
2.7 Конструкция необратимого зацепления и инварианта, различающего ориентацию
3 Гомологии Флоера зацеплений с одной незаузленной и неза-цепленной с остальными компонентой
3.1 Предварительные сведения
3.2 Определения
3.3 Комплекс Флоера С(-) для расширенного зацепления
3.4 Вычисление гомологий комплекса Гг
4 Косы и эпиморфизмы групп зацеплений
4.1 Предварительные сведения
4.2 Группа кос и ее связь с зацеплениями
4.3 Эпиморфизмы групп зацеплений
Список литературы

Глава 1 Введение
1.1 История вопроса
Эта работа посвящена теории инвариантов узлов и зацеплений, чье развитие в последние годы было весьма динамично. Интерес, который люди испытывают к этой теории, связан с тем, что в, казалось бы, чисто топологической задаче находят свое применение и теория алгебр Ли, и аппарат гомологической алгебры, и уравнение Янга-Бакстера, и аппарат фейнма-новского интегрирования, и многие другие алгебраические, геометрические и аналитические методы. Это дает надежду, что исследования в этой области помогут найти какие-нибудь глубокие закономерности в математике.
Считается, что родоначальником теории узлов был К. Ф. Гаусс, который нашел замечательную интегральную формулу для индекса зацепления двух кривых в пространстве. В его дневниках, впоследствии, были также найдены несколько рисунков заузленных кривых, хотя и без каких-либо комментариев. Позже, в XIX веке, У. Томпсон (лорд Кельвин) предложил гипотезу об устройстве атомов в виде заузленных трубочек с циркулирующим в них эфиром. Однако Дж. Максвелл, исследовав эту гипотезу, доказал, что она ошибочна. Но тем не менее, начало теории узлов было положено: один из учеников Томпсона составил первую таблицу альтернированных узлов вплоть до 9 перекрестков.
В двадцатом веке теория узлов занимала умы таких людей как К. Рейдемейстер (который доказал теорему, позволяющую говорить об узлах в терминах их плоских диаграмм), Дж. Александер (нашедший первый полиномиальный инвариант узлов и показавший связь между зацеплениями и косами), Дж. Конвей (показавший, что полином Александера может быть определен аксиоматически), В. Джонс (неожиданным образом связавший теорию узлов с теорией представлений), В. Васильев и М. Гусаров (независимо предложившие понятие инварианта конечного типа), М. Кон-

цевич (построивший универсальный инвариант конечного типа) и многих других исследователей.
Пусть 5/ — дизъюнктное объединение I пронумерованных экземпляров ориентированной окружности, Ж) — дизъюнктное объединение I про-нумерованых экземпляров ориентированной вещественной прямой, а 1} — дизъюнктное объединение I пронумерованных ориентированных отрезков
[ОД].
Определение. Назовем 1-компонентным замкнутым зацеплением гладкое вложение 5)1 в ориентированную трехмерную сферу 53, рассматриваемое с точностью до изотопии, сохраняющей компоненты.
Иными словами, I-компонентным замкнутым, зацеплением называется класс гладких вложений 5/ в ориентированную 53 относительно эквивалентности, заданой коммутативной диаграммой:

з3-А- У
где Ь, V — гладкие вложения; а — гладкий автоморфизм, сохраняющий ориентацию и нумерацию компонент 3}; /3 — гладкий автоморфизм, сохраняющий ориентацию в3
• Длинным 1-компоненитным зацеплением называется гладкое влоэюе-ние И] в ориентированное трехмерное пространство Ж3 с фшксиро-ванной асимптотикой на бесконечности: хб) = [г, 0, *] при |£| > С, рассматриваемое с точностью до изотопии, тождественной вне шара достаточно большого радиуса, и евклидова движения пространства.
Иными словами, I-компонентным длинным зацеплением называется класс гладких вложений Ж[ в ориентированное Ж3 с фиксированной асимптотикой на бесконечности: ж*(£) = [г, 0, при |£| > С относительно эквивалентности, заданой коммутативной диаграммой:
I1 , 1"
м3-м3,
где Ь, Ь' — гладкие влоэюения с фиксированной асимптотикой на бесконечности; а — автоморфизм Ж), сохраняющий ориентацию и

Доказательство. Рассмотрим длинную точную последовательность групп гомологий, индуцированную короткой точной последовательностью комплексов
... - ЯТ’41 - Я£-"а(70 -> Я*’-А(Я[) ->
-> Я--а(/70 - Я-А() -
Гомоморфизм (5' : Я2’”'А(Я{/Я) —► Я’‘"А(7') устроен так. Рассмотрим некоторого представителя у € я£2,'"А(Я1'/7). У него есть реализация в виде линейной комбинации образующих комплекса С'(6/1). Поскольку у является циклом в Я//,/', при применении к такой линейной комбинации дифференциала комплекса С’(Сц) выживут только те прямоугольники, которые соединяют выделенную точку с некоторой другой. Несложно видеть, что действие 5' совпадает с действием, индуцированным на гомологиях оператором, который мы будем символически обозначать рзИ, определенном на комплексе РД Д следующим образом. Как линейное пространство Я/ раскладывается в прямую сумму J' и И[/Д, также рассматриваемых как линейные пространства. Образующая х € РД Д с помощью такого разложения может быть отождествлена с некоторой образующей в Я/. Применим к этой образующей дифференциал комплекса Я{ и спроецируем результат на J, - это и даст нам образ образующей х при применении оператора рщ9. Несложное вычисление показывает, что pJ'д является цепным мультигра-дуированным отображением.
Теперь можно явным образом построить гомотопию нулевого отображения и pJ'д. Рассмотрим решеточную диаграмму Множество образующих факторкомплекса Д[/Д может быть геометрически реализовано на этой диаграмме в виде набора точек, удовлетворяющего условиям геометрической реализации образующей комплекса С{&Д, такого, что одна из них (назовем ее х'0) расположена в верхнем правом углу нижней левой ячейки (напомним, что в этой ячейке находится нолик). Обозначим горизонтальную окружность, проходящую через эту точку, через сгь а вертикальную через 02- Соседнюю слева вертикальную окружность назовем (3. Пусть геометрические реализации образующих х' £ 5(Д{/Д) и у' € 8(7') на диаграмме различаются ровно тремя точками, одна из которых расположена на окружности /?ь Пустым шестиугольником типа 1, соединяющем образующие х' и у', называется вложенный шестиугольник, сторонами которого являются дуги горизонтальных и вертикальных окружностей, а вершинами - те и только те точки образующих х' и у', в которых они различаются, удовлетворяющий следующим условиями: