Свойства типа линделёфовости и топологические произведения

• Автор: Карпов, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 52 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Терминология и обозначения
Глава 1. Слабая линделефовость и квазилинде-
лефовость
§ 1. Слабо линделефовы пространства
§ 2. Квазилинделефовы пространства
Глава 2. Линейная линделефовость и о-линделефовость
§ 1. Линейно линделефовы и инициально компактные пространства
§ 2. о-линделефовы и о-компактные пространства. 34 Заключительные замечания и нерешенные задачи
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Свойство Линделефа является классическим обобщением компактности. Определение линделефова пространства было дано П.С.Александровым и П.С.Урысоном [1]:
0.1. Определение. Топологическое пространство называется финально компактным, если каждое его открытое покрытие содержит счетное подпокрытие. Регулярное финально компактное пространство называется линделефовым.
Каждое линделефово пространство нормально и паракомпактно [20].
Важность класса линделефовых пространств связана, в частности, и с тем, что он одновременно охватывает класс сепарабельных метрических пространств и класс компактов. Но в отличие от компактности, которая сохраняется любыми произведениями (теорема Тихонова [28], один из фундаментальных результатов общей топологии), и в отличие от сепарабельности и метризуемости, которая сохраняется конечными произведениями, произведение двух линделефовых пространств уже не обязано быть линделефовым. Классическим примером такого пространства является “стрелка Зоргенфрея” [27]. Особое значение поэтому приобретает вопрос об условиях, при которых линделефовость и ее обобщения сохраняются при (хотя бы конечных) произведениях.
Переходя к положительным результатам о произведениях линделефовых пространств, отметим следующее простое предложение:
0.2. Теорема. Произведение линделефова пространства и линделе-

фова локально компактного пространства является линделефовым.
Отметим, что локальную компактность в последней теореме нельзя заменить полнотой по Чеху, поскольку при дополнительных теоретикомножественных предположениях ([19] при СН, [8] при МА) существует линделефово пространство, произведение которого на пространство иррациональных чисел не является линделефовым. Однако, если полными по Чеху оказываются оба сомножителя, то произведение будет линделефовым. Это верно и для счетных произведений:
0.3. Теорема. [15], [13]. Произведение счетного семейства полных по Чеху линделефовых пространств является (полным по Чеху) линделефовым пространством.
В работе [2] А.В. Архангельским было введено понятие перистого пространства (или р-пространства):
0.4. Определение. Тихоновское пространство X называется р-про-странством, если для некоторой (а тогда и для любой) хаусдорфо-вой компактификации сХ пространства X найдется счетное семейство {7п : п £ се?} покрытий множества X открытыми в сХ множествами, такое, что для любой точки х € X имеет место включение П{81;(ж,7п) : п есо} С X, где 81;(ж,7п) = и{11 € уп : х € Щ.
Класс р-пространств содержит все метризуемые и все полные по Чеху пространства. Все локально полные по Чеху пространства являются р-пространствами. Справедливо следующее усиление теоремы 0.3:
0.5. Теорема. [2] Произведение счетного семейства линделефовых р-пространств линделефово.
Однако, как показал Э.Майкл [19], произведенрге сепарабельного метрического пространства и линделефова пространства не обязано быть линделефовым пространством. Тем более, произведение линделефова
замкнутое подпространство (IП Q) х {wi}. С другой стороны, X содержит всюдуплотное счетно компактное сепарабельное пространство I X Т(и)). Таким образом, X является о-компактным пространством ввиду следующего предложения и очевидного факта, что пространство, содержащее всюду плотное о-компактное подпространство, само является о-компактным.
2.12. Предложение. (A.B. Архангельский) Каждое сепарабельное счетно компактное пространство является о-компактным.
Непосредственно из определений видно, что о-линделефовость слабее линейной линделефовости. Как видно из следующего утверждения, о-линделефовость является одновременным обобщением линейной и слабой линделефовости, и является, таким образом, самым слабым из рассматриваемых здесь свойств типа Линделефа.
2.13. Теорема. Каждое слабо линделефово пространство является о-линделефовым.
Доказательство проведем от противного. Пусть X — слабо линделефово пространство, которое не является о-линделефовым. Пусть г — несчетный регулярный кардинал, 7 = {Ua : а £ т} — семейство открытых в X множеств, не имеющее точки полного накопления. Для каждой точки х € X зафиксируем ее окрестность Vx, такую, что
|{a G т : Ua П Vx ф 0}| < r. (1)
В силу слабой линделефовости пространства X из открытого покрытия {Vx : х € АГ} можно выделить счетное подсемейство v = {VXi : i € w}, объединение которого всюду плотно в X. Поскольку Jü = X, то для каждого а € т существует i € со такое, что Ua П VXi ф 0. Таким образом, 7 = U{7i : i в со}, где 7* = {Ua 6 7 Ua П VXi ф 0}. Ввиду (1) |7г| < т для каждого i 6 со, а поскольку г — регулярный кардинал, то I7I < ХХЫ! : ® € w}- Противоречие.