Инвариантные почти комплексные структуры на квазиторических многообразиях

• Автор: Кустарев, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 с. : ил.

Содержание
1 Введение

2 Торические многообразия

2.1 Вееры

2.2 Классическая конструкция торических многообразий

2.2.1 Аффинные торические многообразия

2.2.2 Проективные торические многообразия

2.3 Торические многообразия как факторпространства:

конструкция Батырева-Кокса

2.4 Гамильтоновы действия тора и симплектическая редукция

2.4.1 Метод симплектической редукции

2.4.2 Момент-угол многообразия
2.4.3 Торические многообразия и симплектическая
редукция
2.5 Пространство орбит действия компактного тора
3 Квазиторические многообразия
3.1 Определение и конструкция квазиторических многообразий Дэвиса-Янушкиевича
3.2 Полиориентации и комбинаторные квазиторические данные
3.3 Канонические гладкости и стабильно комплексные
структуры
3.4 Веса и знаки неподвижных точек действия тора
4 Инвариантные почти комплексные структуры на
квазиторических многообразиях
4.1 Формулировки и определения
4.2 Примеры и замечания
4.3 Доказательство теоремы (4.1)
4.3.1 Обозначения
4.3.2 Условие положительности и переход к 1-остову
4.3.3 Тривиальность высших препятствий
4.3.4 Окончание доказательства
4.4 Доказательство теоремы (4.2) и следствий
4.4.1 Согласованность с инвариантной метрикой
4.4.2 Построение и свойства различающей коцепи
4.4.3 Доказательства следствий и примеры
4.5 Связь с комбинаторикой многогранника. Инвариант г(Р) .
4.6 Характеристические числа

4.6.1 Обзор результатов в неэквивариантном случае
4.6.2 Полиориснтированные квазиторические
многообразия
1 Введение
Тема настоящей диссертации - инвариантные почти комплексные структуры на квазиторических многообразиях. Мы исследуем вопросы существования, единственности и эквивалентности таких структур, а также зависимости от комбинаторных данных.
Квазиторические многообразия - один из основных объектов торической топологии, области математики, возникшей за последние 20 лет на стыке таких классических областей, как эквивариантная алгебраическая топология, симплектическая и алгебраическая топология и геометрия и комбинаторика. Основополагающей работой в области явилась статья Дэвиса и Янушкиевича ([9]). В этой работе была решена такая важная задача, как построение чисто топологического аналога ставшего классическим объекта алгебраической геометрии - торических многообразий. Новые объекты стали известны в литературе под именем "квазиторических многообразий". Оказалось, что эти объекты наследуют многие известные свойства проективных торических многообразий, такие, как комбинаторное описание кольца когомологий, стратификация по орбитам действия тора. В работе [9] были также приведены наброски доказательства существования гладкости и комплексной структуры на стабилизированном касательном расслоении.
В работе [6| был описан комбинаторный язык, позволивший описать все топологические свойства и характеристики квазиторических многообразий в терминах чисто комбинаторных данных - простого многогранника и целочисленной характеристической функции. Это сделало возможным конструктивное построение канонической инвариантной гладкой структуры и канонической стабильно комплексной структуры на квазиторическом многообразии в терминах комбинаторных данных.
Кроме того, благодаря комбинаторному языку появилась возможность строить автоматически в неограниченном количестве многообразия с теми или иными заранее известными топологическими свойствами. Комбинаторный язык сделал возможным создание "машины" для производства квазиторических многообразий.
Говоря более детально, квазиторические многообразия -

это многообразия с действием тора половинной размерности с пространством орбит действия, эквивалентным простому
многограннику. Как уже было сказано, одним из их основных свойств является наличие канонической инвариантной стабильно комплексной структуры. Вопрос о том, эквивалентна ли стабильно комплексная структура на данном многообразии некоторой почти комплексной, был успешно решен в работе [24]. В работе [9] была поставлена аналогичная проблема торической топологии: предъявить комбинаторный критерий для существования инвариантных почти комплексных структур на данном квазиторическом многообразии.
Одним из результатов, полученных в данной диссертации, является решение этой проблемы.
Результаты диссертации опубликованы в работах [14] и [15]. Главы 1 и 2 посвящены классической теории торических многообразий и квазиторическим многообразиям. В главе 1 мы рассматриваем классические и современные конструкции торических многообразий, включая конструкцию Кокса и симплектическую редукцию для проективных торических многообразий. В главе 2 приводятся конструкции квазиторических многообразий, канонической гладкости и канонических стабильно комплексных структур, а также несколько определений знака неподвижной точки, играющих роль комбинаторного языка для формулировки критерия существования и единственности.
В главе 3 приводятся формулировки и доказательства результатов и утверждений, касающихся инвариантных структур. Основной результат диссертации таков:
Теорема. Каноническая стабильно комплексная структура па квазиторическом многообразии эквивалентна некоторой инвариантной почти комплексной, если и только если соответствующая ей полиориентация положительна.
Это утверждение, в свою очередь, является следствием двух следующих теорем.
Теорема 4.1 (существование). Квазиторическое многообразие М допускает Тп-инвариантную почти комплексную структуру тогда и только тогда, когда оно обладает полооюительной полиориентацией.
Положительная полиориентация многообразия определяется в терминах знаков неподвижных точек, введенных в п. 3.4. Утверждение теоремы было ранее получено И. Э. Добринской для случая п 7 иным

Определение 3.10. Скажем, что квазиторическое многообразие М полиориентировано, если выбрана ориентация для М и каждого из его характеристических подмногообразий М/, 1 ^ ^ т.
Стационарную подгруппу Тр. характеристического подмногообразия
С М можно записать в виде
ТР] = ..., е2эт'А"^) 6 Т*), (20)
где ^ 6 К И А) = (Ау, .. . , А„у)‘ 6 Р - некоторый примитивный вектор. Этот вектор определяется подгруппой Тр, лишь с точностью до знака. Выбор знака (и тем самым однозначный выбор вектора) задает параметризацию одномерной подгруппы Трг
Полиориентация квазиторического многообразия предоставляет канонический способ выбора векторов А^, 1 ^ у ^ тп. В самом деле, действие параметризованной подгруппы Тдг, С Т1 задает ориентацию в нормальном расслоении вложения С М. Полпориентация
многообразия М также задает ориентацию в и3 при помощи следующего разложения касательного расслоения:
т{М)М} = т(М,-) е V].
Теперь мы выберем направление примитивного вектора А_,- таким образом, чтобы эти две ориентации совпадали.
Вообще говоря, выбор полиориентации на М не является каноническим. Тем не менее, если М допускает ТГ^-инвариантную почти комплексную структуру, то выбор такой структуры дает канонический способ ориентации М и подмногообразий М) для 1 ^ ^ т. Тем самым мы получаем полиориентацию, ассоциированную
с инвариантной почти комплексной структурой. Позднее мы приведем явный критерий существования инвариантной почти комплексной структуры на квазиторическом многообразии. Пока же отметим, что в случае, когда М является инвариантно почти комплексным (например, если М - неособое компактное торическое многообразие), мы всегда будем его снабжать ассоциированной полиориентацией. В других случаях мы будем фиксировать ориентацию произвольно.
Задав полиориентацию, мы можем продолжить соответствие (19) до отображения целочисленных решеток
А : ^ е^ —У у}
которое мы будем называть направленной характеристической функцией. При наличии полиориеитации мы будем предполагать